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Emil Artin


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SS09: 12. Übung am 23.6.2009 
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Beitrag SS09: 12. Übung am 23.6.2009
Beispiel 1:

Meine Interpretation: Man soll die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Übertragungsfehler auftritt, dieser aber nicht erkannt werden kann, weil wieder ein gültiges Codewort vorliegt.

Da d=4, müssen also mindestens 4 Bits auf eine bestimmte Art verändert werden, damit wieder ein gültiges Codewort entsteht.
Da der Code doppelt gerade ist ($\forall x\in C: \mathrm d(x,\vec 0)\equiv 0 \mod 4$) kann kein gültiges Codewort entstehen, wenn man 5 Bits abändert. (6 Bits geht nicht: erkennt man durch Meditation über den Code.)
Für jedes Codewort gibt es 3 Möglichkeiten 4 Bits so abzuändern, dass wieder ein gültiges Codewort ensteht.

daher:
$\textrm P(E)=3\cdot\epsilon^4 (1-\epsilon)^2$

(man kann natürlich auch ohne nachdenken einfach in die formel einsetzen und kommt aufs gleiche.)

Beispiel 5:

man kann:
C1: [4,1,4]-Code (=linearer (4,2,4)-Code)
C2: [4,3,2]-Code (=linearer (4,8,4)-Code)

$$C_3:=\{ a_1^8 \in \mathrm{GF}(2)^8: a_1^4+a_5^8\in C_1, a_5^8\in C_2 \}$$

$a_1^4$ ist dabei eine Abkürzung für $(a_1,a_2,a_3,a_4)~~(\in \mathrm{GF}(2)^4)$

Das ist dann ein [8,4,4]-Code. d=4 zeigt man durch Fallunterscheidung, der Rest ist klar.


So 21-06-2009 15:42:39
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Beitrag Re: SS09: 12. Übung am 23.6.2009
hab dann noch dazu 3. und 4.
ist das 4. beispiel wirklich so trivial?? Ich mein, man braucht dafür doch nicht einen formellen beweis..
hat wer was zum zweier--


Mo 22-06-2009 14:20:24
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Beitrag Re: SS09: 12. Übung am 23.6.2009
3.) über BSP 4 aus der letzten Übung und in die formeln für A(z), B(z) einsetzen.
4.) hab ich einfach über die symmetrie des binomialkoeffizienten.

wäre echt nett, wenn jemand zeit findet und das 2. macht und postet!


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Mo 22-06-2009 18:49:15
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Beitrag Re: SS09: 12. Übung am 23.6.2009
ich hätt das 4. auch halbwegs formal:
$$f(c):=c+e$$ Offensichtlich ist f bijektiv von C nach C. Außerdem gilt:
$$w(f(c))=n-w(c)$$ (Es werden einfach alle bits geändert) Damit werden Wörter mit Gewicht i bijektiv auf Wörter mit Gewicht n-i abgebildet, also
$$A_i=A_{n-i}$$


@kater:
Zitat:
C2: [4,3,2]-Code (=linearer (4,8,4)-Code)

Warum wird das d größer?


Mo 22-06-2009 20:07:42
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Beitrag Re: SS09: 12. Übung am 23.6.2009
Also das 4. hab ich genauso.. es ist doch wirklich zu trivial :D
und das 5. hab ich angehängt..
;)


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Mo 22-06-2009 22:20:24
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Beitrag Re: SS09: 12. Übung am 23.6.2009
Koennte bitte jemand Bsp 4 und 5 erklaehren?

lg Dieter


Di 23-06-2009 00:35:32
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Beitrag Re: SS09: 12. Übung am 23.6.2009
@student: was genau möchtest du erklärt bekommen?
ansich gehts nur darum du hast 2 binäre Codes $C-1, C_2$ welche aus Codeworten bestehen, die jeweils 4 Zeichenlang sind. ->[n,k,d] mit n=4.
mit minimalem Hamminggewicht untereinander von d=4.
C_1 besteht aus 2 Worten(k=1, Code ist binär -> 2^k=2), C_2 aus 8 Worten(k=3, Code ist binär -> 2^3=8).
nun bildest du Codes der Form $c=c_1c_2$ mit $c_1 \in C_1 c_2 \in C_2+c_1$ und überprüfst ob der neue Code nun ein [8,4,4]-Code ist(Länge 8 der Wörter, 2^4=16 Elemente, und "am schwierigsten" warum d=4 noch immer stimmt!)

lg

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Di 23-06-2009 08:01:34
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