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prüfungsbeispiel 4
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Autor:  Deadpool [ Fr 31-05-2013 17:31:33 ]
Betreff des Beitrags:  prüfungsbeispiel 4

Hallo!

kann mir jemand dieses prüfungsbeispiel ausführlich vorrechnen?

Autor:  andreas [ So 02-06-2013 13:10:16 ]
Betreff des Beitrags:  Re: prüfungsbeispiel 4

Ich will dir die Grundidee erklären: Zunächst sieht man leicht, dass die vier angegebenen Verktoren tatsächlich den $\mathbb{R}^4$ aufspannen. Man kann also jeden Vektor $v\in\mathbb{R}^4$ darstellen als
$v=\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2+\beta_2 b_2+\gamma_2 c_2$.
Die Projektion auf $p_1$ ist jetzt jene Projektion, die $v=\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2+\beta_2 b_2+\gamma_2 c_2$ auf $v_2=\alpha_2 a_2+\beta_2 b_2+\gamma_2 c_2$ abbildet; die Projektion $p_2$ ist jene Projektion, die $v=\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2+\beta_2 b_2+\gamma_2 c_2$ auf $v_1=\alpha_1 a_1$ abbildet. Sprich: Wenn man die Koeffizienten des Vektors bezüglich einer gegebenen Basis kennt, dann kann man sich relativ leicht das Bild unter den Projektionen ausrechnen.

Das Problem (a) kann man daher damit lösen, dass man zuerst eine Abbildung erstellt, welche die Koeffizienten liefert. Das ist bekanntlich die inverse Matrix $A^{-1}$ von $A:=(a_1\ a_2\ b_2\ c_2)$. $p_1$ wird dann durch die Matrix $P_1:=(0\ a_2\ b_2\ c_2)\cdot A^{-1}$ beschrieben; $p_2$ wird durch die Matrix $P_2:=(a_1\ 0\ 0\ 0)\cdot A^{-1}$ beschrieben. Man muss also nur noch ausmultiplizieren.

Das Problem (b) ist dann ziemlich trivial, weil man nur noch $v_1=P_2\cdot v$ und $v_2=P_1\cdot v$ ausrechnen muss.

Autor:  andreas [ So 02-06-2013 13:30:12 ]
Betreff des Beitrags:  Re: prüfungsbeispiel 4

Und hier noch durchgerechnet:

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