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Gabriel Cramer (31.07.1704 - 04.01.1752)


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SS11: UE 3 
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Beitrag SS11: UE 3
hat jemand was zu 2. d)
wie soll man zeigen, dass es eine Bijektion zwischen S und (X,Y) gibt?

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Di 29-03-2011 20:21:16
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Beitrag Re: SS11: UE 3
lunatic hat geschrieben:
wie soll man zeigen, dass es eine Bijektion zwischen S und (X,Y) gibt?

Man kann zeigen, dass für eine beliebige (messbare) Funktion $\varphi$ gilt, dass $H(\varphi(X)) \leq H(X)$, mit Gleichheit genau dann, wenn $\varphi$ injektiv ist (sofern alle Elemente im Bild von X positive Wahrscheinlichkeit haben).

Und zwar geht das ganz leicht mit Folgerung 1.3.2: Man wähle die Ereignisse $A_y := [\varphi(X) = y]$ und erhält:
$$H(X) = H(\varphi(X)) + \sum_{y\in\varphi(X(\Omega))} P(\varphi(X)=y) H(P_{X|[\varphi(X)=y]})$$
Dadurch ist erstmal $H(\varphi(X)) \leq H(X)$, und wenn beide Seiten gleich sind, muss $H(P_{X|[\varphi(X)=y]})$ immer Null sein; also handelt es sich um eine kausale Verteilung, das geht aber nur, wenn $\varphi$ injektiv ist.

Zurück zum Beispiel: Wir wissen jetzt, dass $H(S) \leq H(X,Y)$ (aufgrund der Überlegung oben), und $H(X,Y) \leq H(X) + H(Y) = H(S)$ (nach Folgerung 1.3.5), somit ist $H(S) = H(X,Y)$.
Damit ist die Funktion $(x,y) \mapsto x+y$ injektiv, und eingeschränkt auf ihren Wertebereich bijektiv.

Gabriel.


Di 29-03-2011 22:21:53
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ok danke
jetzt hab ich alles verstanden :D

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Di 29-03-2011 23:44:13
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