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SS09: 11. Übung am 16.6.2009
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Seite 1 von 1

Autor:  s.e [ So 14-06-2009 13:26:03 ]
Betreff des Beitrags:  SS09: 11. Übung am 16.6.2009

hier mal bsp 3-5... hoffe es ist einigermaßen leserlich...
Slepian Standardmatritzen sind genausowenig eindeutig wie die nebenklassenanführer

Autor:  kater [ So 14-06-2009 17:21:49 ]
Betreff des Beitrags:  Re: SS09: 11. Übung am 16.6.2009

Beispiel 1:
wir wollen (4,9,3)-Code über GF(3)
wir nehmen linearen code C, und zwar die lineare hülle von {0111,1120}. die sind offenbar linear unabhängig und das ergibt n=9. C ist unterraum des vektorraumes GF(3)^4. man muss noch d=3 zeigen
a=0111, b=1120
na+mb=(m, m+n, 2m+n, n)
(C = {na+mb : n,m sind aus GF(3)})
(n,m) != (n',m'):
fall 1: m=m'
=> n != n' und m+n != m+n' = m'+n' und 2m+n != 2m+n' => d=3
fall 2: n=n' (fast) genauso.
fall 3: m!=m', n!=n', m+n != m'+n' => ok
fall 4: m!=m', n!=n', m+n = m'+n'
z.z: 2m+n != 2m'+n'
2m+n = m+(m+n) = m+(m'+n') != m'+(m'+n') = 2m'+n'
=> d=3

Code ist perfekt:
http://de.wikipedia.org/wiki/Perfekter_Code (q=3, n=4, t=1)

Beispiel 2:
einen linearen (11,76,3)-Code kann es nicht geben.
ang. C wäre linearer code mit |C|=76. Dann sei (b_1,...,b_r) Basis von C (C ist Vektorraum!)
=> |C| = 5^r = 76. 76 ist aber keine 5er-potenz.

Autor:  alex [ Mo 15-06-2009 18:07:00 ]
Betreff des Beitrags:  Re: SS09: 11. Übung am 16.6.2009

kater hat geschrieben:
Beispiel 1:
wir wollen (4,9,3)-Code über GF(3)
wir nehmen linearen code C, und zwar die lineare hülle von {0111,1120}. die sind offenbar linear unabhängig und das ergibt n=9.

der code hat aber nicht durchgängig länge 4 (zb 2*1120=10010)!?

Autor:  kater [ Mo 15-06-2009 18:11:59 ]
Betreff des Beitrags:  2+2=1 (mod 3)

ein linearer code ist ein vektorraum über einem körper mit q elementen
in diesem fall ist C ein untervektorraum von GF(3)^4
GF(3)^4:={(a,b,c,d):a,b,c,d aus GF(3)}
die addition ist komponentenweise definiert:
(a,b,c,d)+(a',b',c',d')=(a+a', b+b', c+c', d+d')
es gibt also keinen übertrag und wenn ich 0111 schreibe ist das eine abkürzung für (0,1,1,1).
k*(a,b,c,d) ist die körper-vektor-multiplikation:
2*(1,1,2,0)=(2,2,1,0)
mit zahlen in tri-adischer darstellung hat das nicht viel zu tun.

Autor:  alex [ Mo 15-06-2009 18:37:57 ]
Betreff des Beitrags:  Re: SS09: 11. Übung am 16.6.2009

ah ok, danke.

Autor:  SOADdict [ Mo 15-06-2009 21:04:21 ]
Betreff des Beitrags:  Re: SS09: 11. Übung am 16.6.2009

@s.e. ich denke du hast bei bespiel 4 zumindest die generatormatrix schon nicht in standardform (Einheitsmatrix links)[hier hilft auch zeilenvertauschen nichts] daher auch nicht die Paritäts-Check Matrix mit der E_2 rechts und daher passen deine Syndrome nicht.

beim 5. hätte ich noch die Frage wie du auf den NKA kommst, ohne die gesamte Matrix aufzuschreiben.

Autor:  s.e [ Di 16-06-2009 00:20:24 ]
Betreff des Beitrags:  Re: SS09: 11. Übung am 16.6.2009

durch zeilentausch erhälst du einen äquivalenten code mit G'
10|22
01|22
und du hast die kanonische form,
dies würde auch bei H (in diesem fall, da im hinteren teil sowieso nur 2er drin stehen) nur einen zeilentauch erzeugen um H' zu erhalten,
enstsprechen müss man bei den syndromen auch nur die hintere und die vordere zahl vertauschen --> ändert nicht an teil c, weil sich die syndrome entsprechend vertauschen

um die NKA beim 5. zu finden hab ich mir einfach die Matrix H angesehen, 0000 ist klar, kommt ein anderes syndrom raus und NKA hat kleinstes gewicht (nachdem 0 nur durch nullvektor, also bestenfalls 1) (hier sehe ich, dass ich die syndrome wirklich durch vektoren mit gewicht 1 erzeigt werden können, denn 1111 steht in H in der 5.Spalte -> 000010000, 0010 in der 3. -> 001000000, und 0000 ist soweiso klar) natürlich kann es möglich sein dass es mehrere mit kleinstem gewicht gibt, ist aber bei diesen 3 nicht der fall (z.b. 1110 kann durch 3+4.Spalte oder durch 5+9.Spalte oder durch 2+7.Spalte erzeugt werden, aber nicht durhc eine allein, hat also mind gewicht 2, und es würden sowohl 001100000, 000010001 oder 010000100 in frage kommen, da der NKA nicht eindeutig ist.

und bei 3b bestehen die syndrome nur aus 1 bzw 0

Autor:  s.e [ Di 16-06-2009 00:23:24 ]
Betreff des Beitrags:  Re: SS09: 11. Übung am 16.6.2009

hatte ursprünglich versucht bei bsp 5 versucht wieder auf die generatormatrix zu kommen, ist mir aber nicht geglückt...
(gottseidank auch nicht nötig :D )

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