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William Rowan Hamilton (04.08.1805 - 02.09.1865)


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WS08: Anzahl der pythagoräischen Tripel < n 
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Beitrag WS08: Anzahl der pythagoräischen Tripel < n
Es hat zwar nicht unmittelbar mit der VO/UE zu tun, aber es passt am ehesten hierher.
Für alle an Zahlentheorie Interessierten:

Bei der dieswöchigen Eprog-UE gibt es ein Bsp., bei dem man mittels C-Algorithmus alle pythagoräischen Tripel x,y,z mit z <= n bestimmen und ausgeben sollte. Ich hab mich ein bisschen damit rumgespielt und bin auf einen interessanten Sachverhalt gestoßen:

Sei t(n) die Anzahl der pyth. Tripel <= n, dann scheint t(n)/n extrem langsam zu divergieren.
z.B. ist
t(10^5)/10^5 = 1,614..
t(10^6)/10^6 = 1,981..
t(10^7)/10^7 = 2,347..
t(10^8)/10^8 = 2,714..
(zum Vergleich: log(log(10^8)) = 2,913..)

Wenn man aber pt(n) betrachtet, die Anzahl der primitiven (=teilerfremden) pyth. Tripel <= n, dann zeigt sich ein auffälliges Konvergenzverhalten:
pt(10^7)/10^7 = 0,159158
pt(10^8)/10^8 = 0,159155
pt(10^9)/10^9 = 0,159155

$\frac{1}{2\pi}$ = 0,159154943..

pt(n)/n konvergiert also offensichtlich gegen $\frac{1}{2\pi}$!

Beide Tatsachen finde ich bemerkenswert. Für die zweite habe ich Bestätigung, aber keinen exakten Beweis, im Internet gefunden. Die erste, nämlich dass t(n)/n divergiert, ist nur eine Vermutung.
Wer kanns beweisen? :D


Mi 05-11-2008 01:09:15
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Beitrag Re: Anzahl der pythagoräischen Tripel < n
sehr interessant! :)


Mi 05-11-2008 19:00:19
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Beitrag Re: WS08: Anzahl der pythagoräischen Tripel < n
Fürs zweite hätte ich was gefunden:


Mo 22-12-2008 14:24:18
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