Mathematik ist die perfekte Methode, sich selbst an der Nase herum zu führen.
Albert Einstein


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WS08: A 10) 
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Beitrag WS08: A 10)
hab jetzt endlich mal 10 min zeit gefunden mich an den pc zu setzen ... den leopard 2 panzer musste ich mir heute schon geben :D

Ann.: Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form $4k+1$ \\
Bew.: Sei $n \in \mathbb{Z}^+, M = (n!)^2 + 1$ \\
$p$ kleinster Primfaktor in $M \Rightarrow p > n \Rightarrow M \equiv 0(p)$ \\
d.h.: $(n!)^2 \equiv -1(p) \quad \quad /^{\frac{p-1}{2}}$ \\
$\Leftrightarrow n!^{p-1} \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} (p) $ \\
$\Rightarrow \quad$ (Kleiner Fermat) $ (n!)^{p-1} \equiv 1(p) $\\
$\Rightarrow 1 \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}(p) $ \\
$\newline$
$\frac{p-1}{2}$ ist gerade $\Rightarrow p = 4k + 1 > n \Rightarrow$ unendlich viele Primzahlen $\quad$

hab hier noch 2 beweise aus einem forum dazu gefunden (k.a. ob sie richtig sind, hab sie mir nicht angeschaut):

1. Methode:
Bezeichne Pi_4(x) die Anzahl der Primzahlen der Form 4k+1, welche kleiner oder gleich x sind, so gilt:

Pi_4(x) ist asymptotisch gleich 1/2* x/ln(x). (also im Schnitt jede zweite Primzahl)

Dabei meint "asymptotische Gleichheit" zweier Funktionen, dass ihr Quotient für x->oo gegen 1 strebt.


Dies ist hier ein Spezialfall des Dirichlet´schen Primzahlsatzes, der besagt, dass für teilerfremde n und a es unterhalb von x asymptotisch 1/phi(n) *x/ln(x) viele Primzahlen der Form a+n*k gibt.

(Der Beweis für den Dirichlet´schen Primzahlsatz ist nicht elementar, während man oberes Resultat, bzw. die abgeschwächte Form, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 4k+1 gibt, noch elementar beweisen kann.)

2.Methode:
Zu dem hier gestellten Problem habe ich einen Beweis (in einer Vorlesung gehört Wink ), der das quadratische Reziprozitätsgesetz benötigt (welches aber wiederum selbst auch elementar, dafür aber langwierig bewiesen werden kann).

Der Beweis geht analog dem Euklid´schen Beweis der Unendlichkeit der Menge der Primzahlen indirekt:

Seien uns also alle endlich vielen Primzahlen der Form 4k+1 bekannt, und sei N das produkt aller dieser, und M=4*N^2+1.

Sei p nun ein Primteiler von M. Dann kommt p offenbar nicht in unserer Liste vor (da ja alle diese Primzahlen teilerfremd zu M sind).
Wir zeigen nun noch, dass p selbst wieder kongruent 1 modulo 4 ist:

4N^2+1 == 0 (mod p) ==> 4N^2 == -1 (mod p), d.h. -1 ist ein quadratischer Rest modulo p.

Also ist das Legendre-Symbol (-1 über p) = 1.

Nach dem 1. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz lässt sich aber dieses Legendre-Symbol (-1 über p) für alle Primzahlen auch durch den Ausdruck (-1)^([p-1]/2) berechnen.

Also ist (-1)^([p-1]/2) = 1, d.h. (p-1)/2 gerade, d.h. p == 1 (mod 4).

_________________
Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert


So 26-10-2008 18:00:46
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