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WS08: A 9)
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Seite 1 von 1

Autor:  hamfire [ So 26-10-2008 18:57:09 ]
Betreff des Beitrags:  WS08: A 9)

dieses bsp ist auch nicht sonderlich schwer:

aus dem internet:
1.Methode:
Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen der Form 4k+3. Sei n deren Produkt.
Die Zahl m = 4n−1 is ungerade und nicht 1, hat also einen Primteiler. Jeder ihrer Primteiler
ist von der Form 4k + 1 oder 4k + 3. Wenn alle Primteiler von der Form 4k + 1 wären, so
wäre auch m selbst von dieser Form, ein Widerspruch. Es muss also einen Primteiler p von
m der Form 4k + 3 geben. Der teilt dann aber n und folglich auch −1, ein Widerspruch.

2.Methode:
Hinweis: Indirekter Beweis. Sind p1, . . . , pn all diese Primzahlen, so hat
jeder Primteiler von a := 4(p1 · . . . · pn) − 1 die Form 4k + 1.
Zun¨achst liefert die Definition einer Primzahl, dass h¨ochstens 4k + 1 und
4k + 3 Primzahlen sind, denn die Zahlen 4k und 4k + 2 sind durch 2 teilbar,
und jede nat¨urliche Zahl hat eine der Darstellungen 4k, 4k+1, 4k+2,
4k + 3, da wir sie mit Rest durch 4 dividieren k¨onnen. Nun kommt eine
Argumentation ¨ahnlich zum Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen.
Annahme: p1, . . . , pn sind alle Primzahlen der Form 4k + 3. Setze
a := 4(p1 · . . . · pn) − 1. Sei q ein beliebiger Primteiler von a. W¨are q
von der Form q = 4r + 3, so w¨are q = pj f¨ur ein j 2 {1, . . . , n}, also
w¨are q wegen q | a und q | 4(p1 · . . . · pn) ein Teiler von 1, ein Widerspruch.
Folglich hat jeder Primteiler von a die Form 4k + 1. Wegen
(4k1 + 1)(4k2 + 1) = 16k1k2 + 4k1 + 4k2 + 1 =: 4k3 + 1 hat aber a als
Produkt solcher Zahlen ebenfalls die Form 4s+1. Setzt man dies f¨ur a ein,
so ergibt sich 4(p1 · . . . · pn − s) = 2, und 4 | 2 liefert einen Widerspruch.



naja, eigentlich gehts darum welche methode die kürzere ist! :P

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