Sometimes it is useful to know how large your zero is.


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WS08: Übung 
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Beitrag WS08: Übung
hoffe das is kein Fehler drin :) muss mich leider beeilen und kanns nicht mehr durchlesen
BSP 3:


Zuletzt geändert von Michalis am Mi 15-10-2008 17:25:35, insgesamt 1-mal geändert.



Sa 11-10-2008 17:34:17
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Beitrag Re: Übung
genial, wär ich nie drauf gekommen..

hat wer was zu 1. (ii)?
ich kann mir nicht vorstellen, dass das so schwer ist, aber ich komm da auf nix.
also dass die Zahl für gerades n immer durch 2 teilbar ist, ist einfach..
aber für ungerades n?

macht man das mit induktion?


So 12-10-2008 16:15:40
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Beitrag Re: Übung
3.
Angenommen $a<b =>$ f"ur alle $n\in \mathbb{N} \  a^n < b^n$, aber laut Voraussetzung gilt $b^{2k} | a^{2k+1}.$
Angenommen $b<a => \forall n\in\mathbb{N} \ b^n< a^n => $Widerspruch zu $a^{2k-1} | b^{2k}\\ =>a=b$
passt das so?

_________________
Why do Computer Scientists get Halloween and Christmas mixed up?
Because: oct 31 = dec 25


I wish to complain about this parrot that I purchased not half an hour ago from Fachschaft TM.


So 12-10-2008 16:45:58
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Beitrag Re: Übung
Hätte eine allgemeine Frage zum Übungsablauf.

Wir haben ein Blatt bekommen, wo Aufgaben 1-25 und A-J stehen.

Ist es für das ganze Semester vorgesehen? Hoffentlich ist das nicht bis nächste Woche Freitag auszuarbeiten. :wink:


So 12-10-2008 16:51:59
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Beitrag Re: Übung
1-4 sind bis nächste woche.
insgesamt sind 10 Aufgaben (aus jenen, die mit Buchstaben nummeriert sind, es kommen aber noch welche dazu) bis semesterende auszuarbeiten.


So 12-10-2008 19:55:21
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Beitrag Re: Übung
Ich find die Lösung vom Michalis auch genial!

zu 1.(ii):
Wie sani schon bemerkt hat, ist die Behauptung für gerade n offensichtlich.
Wenn die Zahl n aber ungerade ist, gilt $\frac{n+1}{2} \in \mathbb{N}$, und man kann den Term auch als Produkt von 2 ganzen Zahlen darstellen:

$$n^4 + 4^n = (n^2)^2 + (2^n)^2 = (n^2 + 2^n)^2 - 2^{n+1}n^2 = (n^2 + 2^n - 2^{\frac{n+1}{2}}n)(n^2 + 2^n + 2^{\frac{n+1}{2}}n)$$

Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass $n^2 + 2^n - 2^{\frac{n+1}{2}}n \not= 1$, ist auch nicht schwer, da der Ausdruck als Funktion f(n) streng monoton steigend ist, und f(3)=5.


So 12-10-2008 20:53:30
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Beitrag Re: Übung
sehr schön, danke

jetzt wird meine suchende seele endlich ruhe finden :)


So 12-10-2008 21:22:27
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Beitrag Re: Übung
zu 2.:
@SOADdict: Ich verstehe nicht wie du das meinst. $a^n < b^n$ ist ja kein Widerspruch zu $b^n | a^{n+1}$.

Ich hab das Beispiel so gelöst:
Sei p eine Primzahl und $v_p(a)$ wie beim Michalis die Vielfachheit der Primzahl in a.
Mit Hilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung ist leicht ersichtlich, dass
$a | b \Leftrightarrow v_p(a) \leq v_p(b) \ \forall p \in \mathbb{P}$
Wähle ein $n > v_p(a)$ mit $a^{n-1} | b^n | a^{n+1}$, dann folgt

$$(n-1) v_p(a) \leq n v_p(b) \leq (n+1)v_p(a)$$
$$\frac{(n-1)}{n} v_p(a) \leq v_p(b) \leq \frac{(n+1)}{n} v_p(a)$$
$$v_p(a) - 1 < v_p(b) < v_p(a) + 1$$

und damit $v_p(a)= v_p(b) \ \forall p \ \Rightarrow \ a = b$.


Zuletzt geändert von Gregor am Mo 13-10-2008 00:31:26, insgesamt 1-mal geändert.



So 12-10-2008 21:26:53
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Beitrag Re: Übung
hab 4.) [eukl. alg. benützen], falls es wer braucht kann ichs posten. 1.) is easy, 3.) schon gelöst. bleibt nur noch 2.)! [sollte nicht schwer sein] (sehe gerade auch schon gelöst)

ah ja: und bsp A) hab ich auch :)

EDIT: lsg. folgt morgen...

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Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert


So 12-10-2008 23:05:48
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Beitrag Beispiel 1 (i)
Beispiel 1 (i)

$$(p-1)(p-2)=p^2+2-p-2p=p^2+2-3p$$
$$p^2+2=(p-1)(p-2)+3p$$

Da 3 kein Teiler von p ist, muss es entweder ein Teiler von (p-1) oder von (p-2) sein. D.h. 3 | (p-1)(p-2) und offensichtlich auch 3p. Man kann den Satz also für beliebige $p \not\equiv 0$ (mod 3), $p > 3$ verallgemeinern.


Mo 13-10-2008 18:41:40
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Beitrag Beispiel 4
Beispiel 4

danke für den tipp mit dem euklidischen algorithmus! (a,b)=(a,b-a)

$$G=(n!+1,(n+1)!+1)$$
$$(n+1)!+1=(n+1)n!+1=nn!+n!+1=$$
$$=n(n!+1)-n+(n!+1)$$
$$G=(n!+1, (n!+1)-n)=((n!+1)-(n!+1-n), (n!+1)-n) = (n, n!+1-n)$$
$$n!+1-n=n(n-1)!+1-n=n((n-1)!-1)+1$$
$$G=(n, 1)=1$$

jetzt fehlt nur noch beispiel 3... hab leider noch nicht herausgefunden wie das gehen könnte also wär schön wenns jemand postet!

EDIT: $=(n-1)(n!+1)-n+(n!+1)$ in Zeile 3 war unnötig und falsch. sonst passts aber.


Zuletzt geändert von kater am Do 16-10-2008 17:38:45, insgesamt 1-mal geändert.



Mo 13-10-2008 19:29:44
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Beitrag Beispiel 3
kater hat geschrieben:
jetzt fehlt nur noch beispiel 3... hab leider noch nicht herausgefunden wie das gehen könnte also wär schön wenns jemand postet!

das hat der michalis schon gepostet, schau mal ganz nach oben.


Mo 13-10-2008 22:22:30
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Beitrag Beispiel 3
das hab ich doch glatt übersehen :roll:

ich hab jetzt lange über das beispiel meditiert und jetzt versteh ichs endlich. eigentlich eh ganz logisch. ich hab auch einen kleinen fehler gefunden: es muss $2^k\leq n < 2^{k+1}$ heißen! Weil die 2er-Potenzen 4, 8, 16, usw. kann man sonst nicht dazwischen zwicken ($4\leq 4 < 8$).

EDIT: so, jetzt passts.


Zuletzt geändert von kater am Di 14-10-2008 21:43:36, insgesamt 1-mal geändert.



Di 14-10-2008 20:41:05
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Beitrag Re: Übung
$
2^k\leq n < 2^{k+1}
$

du meinst das so, oder?


Di 14-10-2008 21:40:03
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Beitrag Re: Übung
falls du $2^{k+1}$ meinst, ein berechtigter einwand.

EDIT: zu langsam :wink:


Di 14-10-2008 21:41:28
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