"<==" passt
"==>" nein, kannst du natürlich nicht..
du weißt, dass V und W semilinear isom. sind, mit anderen worten: dass es ein f : V -> W gibt welches bijektiv und semilinear ist. f muss aber keineswegs linear sein!
man kanns so machen:
sei (bi) eine basis von V, und sei y in W beliebig.
da f bijektiv ist, gibt es genau ein x in V mit f(x) = y.
x lässt sich eindeutig darstellen in der form
.
daraus folgt, dass man y schreiben kann als
und dass diese darstellung eindeutig ist! (d.h. die koeffizienten zeta(xi) sind durch y eindeutig bestimmt - denn zeta ist ja auch bijektiv).
wir sehen also, dass (f(bi)) eine basis von W bildet.
laut fortsetzungssatz gibt es eine LINEARE abbildung g mit
laut satz 3.2.5 ist g bijektiv.
also ist g ein linearer isomorphismus zwischen V und W.
lg gregor