A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.
Charles Darwin


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A 5.2.1 
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Beitrag A 5.2.1
Beweise: V und W sind semilinear isomorph genau dann wenn sie linaer isomorph sind!

"<==" linear = IDk semilinear also Zeta = IDk. ist sicher richtig oder?
"==>" nehme Zeta = IDk und kann daher sagen linear isomorph. Darf ich das annehmen ?


Do 16-12-2010 21:41:14
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Beitrag Re: A 5.2.1
ich denke du sollst nur die eine richtung zeigen (<==), da die andere richtung gilt nicht für zeta ungleich idk.


Do 16-12-2010 23:07:02
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Beitrag Re: A 5.2.1
cimo hat geschrieben:
Beweise: V und W sind semilinear isomorph genau dann wenn sie linaer isomorph sind!

"<==" linear = IDk semilinear also Zeta = IDk. ist sicher richtig oder?
"==>" nehme Zeta = IDk und kann daher sagen linear isomorph. Darf ich das annehmen ?


"<==" passt


"==>" nein, kannst du natürlich nicht..
du weißt, dass V und W semilinear isom. sind, mit anderen worten: dass es ein f : V -> W gibt welches bijektiv und semilinear ist. f muss aber keineswegs linear sein!

man kanns so machen:

sei (bi) eine basis von V, und sei y in W beliebig.
da f bijektiv ist, gibt es genau ein x in V mit f(x) = y.
x lässt sich eindeutig darstellen in der form $x = \sum x_i b_i$.

daraus folgt, dass man y schreiben kann als

$y = f(\sum x_i b_i) = \sum \zeta(x_i) f(b_i)$

und dass diese darstellung eindeutig ist! (d.h. die koeffizienten zeta(xi) sind durch y eindeutig bestimmt - denn zeta ist ja auch bijektiv).
wir sehen also, dass (f(bi)) eine basis von W bildet.

laut fortsetzungssatz gibt es eine LINEARE abbildung g mit
$g(b_i) = f(b_i) \ \forall i$

laut satz 3.2.5 ist g bijektiv.
also ist g ein linearer isomorphismus zwischen V und W.

lg gregor


Sa 18-12-2010 23:48:33
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