ad 311: ich hab eine formel gefunden, wie man recht einfach die konjugation von einem zyklus berechnet: sei
ein Zyklus und
, dann gilt
(das funktioniert sogar auch für doppelzyklen)
d.h., wenn eine untergruppe ein normalteiler ist (also unter konjugation abgeschlossen), dann muss sie mit jedem zyklus schon alle anderen zyklen derselben länge enthalten!
damit kriegst du relativ schnell, dass es nur zwei nichttriviale NT gibt:
-) die 4er gruppe aller doppeltransp. (12)(34),..
-) die 12er gruppe aller geraden permutationen
= (123),...,(12)(34),...
308.a) wir wissen schon, dass eine untergruppe einer zyklischen gruppe <x> wieder eine zyklische gruppe <x^n> ist. wenn wir die gruppe additiv schreiben, wird aus <x^n> <n*x>. also sind alle untergruppen, und damit alle normalteiler, von
= <1> von der form <n> = {0,n,-n,2n,-2n,...}. d.h. die kongruenzen sind genau die modulo-kongruenzen.
308.b) ich kann zumindest mal die lösung hinschreiben: alle nichttriv. kongruenzrelationen sind von der form (ich schreib jetzt die zugehörigen klassen hin):
{0}{1}{2}...{n-1}{n,n+k,n+2k,..}{n+1,n+1+k,n+1+2k,...}{n+2,..} ... {n+k-1,..}
so elegant wie in a.) konnte ich nicht argumentieren. aus 307 kriegst du schonmal, dass es nur endlich viele äquivalenzklassen gibt, weil die abbildung n -> [n]~ in die faktorgruppe ein surjektiver algebrenhomom. ist, und nicht injektiv genau wenn es eine klasse mit mehr als einem element gibt.