Ein paar Überlegungen zum
Beispiel 65:
Bei 1) und 2) kann man den isomorphismus einfach hinschreiben:
, und zeigen dass er bijektiv ist.
3) oBdA
(ansonsten trivial).
da H die inversen seiner elemente enthält, gibt es ein kleinstes m>0 sodass
. es gilt sicher
.
sei
beliebig, oBdA n>0. schreibe
wobei
(division mit rest). dann ist auch
. wegen der minimalität von m folgt r=0, also
. daher gilt
, und H ist die zyklische gruppe
.
4) sei o(x)=m, d=ggT(m,k). da k/d eine ganze zahl ist, gilt sicher
, also
.
für die andere richtung, sei nun n=o(x^k), d.h. es gilt
. mit einem division-mit-rest argument (wie oben, unter verwendung der minimalität von m) zeigt man, dass k*n ein vielfaches von m sein muss, also gilt sicher
, und kürzen von k gibt die behauptung.
5) geht nicht schwer wenn man für die existenz 4) verwendet und für die eindeutigkeit 3).