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Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


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mündliche Algebra-Prüfung Winkler 
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Beitrag mündliche Algebra-Prüfung Winkler
Wuhu! Erster, Erster! (morgen/heute, beim mündlichen Teil der Algebra-Prfg. mit Winkler)

Ich stell hier meine *unzensierte* Prüfungsvorbereitungsmitschrift rein.
Zweck A: Vielleicht hilft Sie jemanden anderen.
Zweck B: Vielleicht hilft mir noch jemand mit meinen Fragen oder weist mich auf Fehler in meiner Weltanschauung hin (falls ich überhaupt vor 13:00 aufsteh).



Siehe auch: eine paar gesammelte Goldsternsche Prüfungsfragen im Forum
viewtopic.php?f=97&t=1836

>>> Körpererweiterungen: Was ist eine Körpererweiterung?
ein Oberkörper/Erweiterungskörper; Bei gegebenen f(x)∈K[x] mit grad(f)=n ≥1
heißt ein Oberkörper L≥K Nullstellenkörper, wenn f(x) n Nullstellen in L
besitzt, also in Linearfaktoren zerfällt. Nach Kronecker existiert zu jedem
f(x)∈K[x] ein Nullstellenkörper. Ein minimaler Nullstellenkörper heißt
Zerfällungskörper (von f(x) bezüglich K).

>>> Was spielen Ideale dabei für eine Rolle?
Der Kern des Einsetzungshomomorphismus φ_α ist ein Ideal auf K[x], α∈ L ≥K. Das
wissen wir aus dem Homomorphiesatz für Ringe, so wie auch K[α] ≅ K[x]/ker(φ_α).
Das steht im Zusammenhang mit der Definition von algebraisch und transzendent
über K: α∈L algebraisch über K :⇔ ∃f(x)∈K[x]\{0}: f(α)=0, α transzendent über K
:⇔ wenn es kein solches f(x) gibt - was heißt ker(φ_α)={0} für transzendente α
und ker(φ_α)≠{0} für α algebraisch über K. Ah ja, K[α] bezeichnen wir als
φ_α(K[x]) und ist folglich der kleinste Unterring von L, der K∪{α} enthält.
Und um was es da eigentlich geht ist, dass ein irreduzibles Polynom ein
maximales Ideal erzeugen. Genau für solche ergibt die Faktorisierung des
Polynomrings über einem Körper wieder einen Körper.

>>> Wie und warum kann man wo etwas mit irreduziblen Polynomen konstruieren?
Ist K Körper und f(x) irreduzibel in K[x], dann ist der Restklassenring
K[x]/(p(x)) wieder ein Körper. Zerfällungskörper lassen sich eben so
konstruieren.

>>> Welche Oberkörper von Q kennen Sie?
Zum Beispiel C - dieser stellt den algebraischen Abschluss von Q dar, dass
heißt, C ist der kleinste algebraisch abgeschlossene Oberkörper von Q. Darin
zerfällt jedes nicht konstante f(x)∈Q[x] oder ∈C[x] in Linearfaktoren. Dazu
äquivalent ist, dass jedes nicht konstante f(x) eine Nullstelle in C hat - oder
jedes nicht konstante irreduzible - oder jedes solches linear ist - oder jede
algebraische Erweiterung von C wiederum gleich C ist. Zwischen C und Q liegen
noch viele Erweiterungskörper von Q - zum Beispiel Q[√2] = Q[x]/(x^2-2).

>>> Was ist ein ZPE-Ring?
ZPE steht für Zerlegung in Primelemente eindeutig. Ein Integritätsbereich I ist
so :⇔ ∀a∈I/E(I): ∃ p_1,..,p_r mit a=p_1‥...‥p_r. Auch wird er Gaußscher Ring
oder faktorieller Ring genannt.

>>> Wie konstruiert man einen minimalen Oberkörper von Q, der e enthält?
Wir definieren den Quotientenkörper von Q: Q(x) = {p(x)/q(x) : p,q∈Q[x], q≠0}
und wenden den Einsetzungshomomorphismus φ_e darauf an. Nachdem die Potenzen
von e in Q l.u. sind, ist der Grad der Körpererweiterung unendlich [Q(e):Q]=∾.

>>> Gibt es freie Körper?
Ja sicher. Zum Beispiel in der Klasse der Körper mit Char=n∈N∪{∾} gibt es einen
Körper, der frei über der leeren Menge ∅ ist. Das sind übrigens die Primkörper.

>>> Erzählen Sie etwas über das Koprodukt freier Algebren.
In einer Varietät V versteht man unter dem Koprodukt zweier Algebren (A1,A2)
das Tripel (C,i1,i2) wobei C aus V ist und ij:Aj→C zwei Homomorphismen sind und
für alle (D,f1,f2) mit D aus V und Homomorphismen fj:Aj→D gilt: ∃ eine
eindeutige Fortsetzung h:C→D mit h∘ij=fj. In manchen Klassen müssen i1,i2
injektiv sein, in anderen nicht.

>>> Was ist eine Kongruenzrelation?
Eine Kongruenzrelation ~ auf einer Algebra (A,Ω) ist eine Äquivalenzrelation
(das heißt reflexiv, symmetrisch und transitiv) für die gilt: ∀ ω∈Ω mit
Stelligkeit n: a_k ~ b_k ∀k=1..n => ω((a_k)k=1..n) ~ ω((b_k)k=1..n))

>>> Ist die Gleichheitsrelation immer eine Kongruenzrelation?
Ja.

>>> Was ist eine einfache Algebra? Nennen Sie Beispiele.
Einfach nennt man eine Algebra, die nur die trivialen Kongruenzrelationen
besitzt. Jede Algebra A mit |A|≤2 ist einfach. (Zp,+) und die alternierende
Gruppe A_n = {π∈S_n : sgn(π)=1} ist einfach. Körper sind auch einfach.

>>> Wie war das bei der Prüfung: Welche Kongruenzrelationen gibt es auf (N,f)
>>> mit f(0):=0, f(k):=k-1 für k≥1?
Angenommen es gilt i~j für i<j o.B.d.A. ⇒ f(i)~f(j). Um zu zeigen dass alle k≤j
in der selben Kongruenzklasse liegen, zeigen wir j ~ 0 und j-1 ~ 0: Sei d:=j-i,
d≥1. Also gilt j ~ j-d. Induktiv folgt aus f^d(j)=max{j-d,0} ~
f^d(j-d)=max{j-2d,0}, dass j ~ 0. Da j-1 ~ max{0,i-1 = j-d-1} folgt auch j-1 ~
0. qde.

>>> Was ist ein Normalteiler? Wozu brauchen wir sie? Nennen Sie ein Beispiel
>>> einer Gruppe mit einer Untergruppe, die kein Normalteiler ist.
Ein Normalteiler ist ein N⊆G einer Gruppe G, für den gilt: Rechtsnebenklassen =
Linksnebenklassen, also xN ⊆ Nx ∀x∈G. Im Speziellen sind alle Untergruppen
einer abelschen Gruppe Normalteiler. Alternativ kann man ihn auch so
beschreiben: ein bezüglich aller Konjugation mit Elementen aus G abgeschlossene
Untergruppe, d.h. ∀x∈G: xNx^-1 ⊆ N. Beispiel: {id,(12)} ≤ S_3 - nachzurechnen.
Übrigens wissen wir, dass in einer Gruppe die Kongruenzrelationen den
Normalteilern bijektiv entsprechen - darüber kann man auch die Eigenschaft
"einfach" in Gruppen beschreiben. Wir brauchen Sie, um Faktorgruppen zu bilden
und diese erweisen sich als nützlich dank der Isomorphiesätze für Gruppen.

>>> Was sagen diese Isomorphiesätze aus?
Puh, so einiges. Der zweite sagt für N1 <| G, N2 <| G und N1⊆N2:
- N1 <| N2
- N2/N1 ⊆ G/N1
- sogar N2/N1 <| G/N1
- G/N2 ≅ (G/N1)/(N2/N1) Und der erste sagt für U ≤ G und N <| G:
- NU = UN
- NU, N∩U ≤ G
- N <| NU
- N∩U <| U
- NU/N ≅ U/(N∩U)

>>> Wie hängen Primzahlen und Primelemente zusammen?
Die Primzahl sind im faktoriellen Ring der ganzen Zahlen Primelemente.

>>> Wieviele Automorphismen hat GF(8)? Beweisen Sie ihre Aussage.
GF(8)=GF(2^3). Es gilt Char=2. Behauptung: GF(8) ≅ (Z/2Z)[x]/(p(x)) für ein
irreduzibles Polynom p(x)∈ Z/2Z des Grads 3. Probieren wir es mit p(x):=
x^3+x+1. Wir sehen p(0)=1, p(1)=3=1, also hat p(x) keine Nullstellen und ist
somit irreduzibel. Weiters haben wir [GF(8):Z/3Z] = 3 und {1,α,α^2} als Basis
gegeben und es gilt: α^3 = α+1. So könnten wir uns nun auch die Operationstafel
ausrechnen. Aber eigentlich wollten wir ja die Anzahl der Automorphismen
wissen. q=8, p=2,n=3. Der Frobenius-Homomorphismus f(x)=x^p hat die Ordnung n
und erzeugt die Automorphismengruppe Aut(GF(8)). Also haben wir genau n
Automorphismen.

>>> Erzählen Sie alles mögliche über Galoistheorie, Verbandstheorie, boolesche
>>> Algebren und Ringe! Und danach werde ich Ihnen noch eine Frage
>>> präsentieren, mit der Sie sicher nicht gerechnet haben. ;-)
Oh je.

>>> Hey, warum ist die Primelementzerlegung in ZPE-Ringen eigentlich eindeutig?
Wenn für ein a∈R p1,..,pr und q1,..,qs Primelementzerlegungen sind, dann folgt:
p1 | q1‥..‥qj‥..‥qs und daher gibt es ein j∈{1..s} mit p1 ~ qj. Weiters geht es
mit p2 | q1‥..‥qs (ohne qj) und dem selben Argument, bis wir nach r Schritten
bei einer Einheit angelangt sind.

>>> Bei was haben Sie Probleme gehabt?
Aus Gründen, über die ich selbst nur mutmaßen kann, habe ich die Fragen mit
Fr(A), Fr(B) und dem x^(p^n)-x einfach nicht angesehen. Abgesehen von meinen
inneren Hemmungen war mir die Zeit fast zu knapp.

>>> Erzählen Sie mir doch noch ein bisschen über Filter in Booleschen Algebren!
>>> Was sind Ultrafilter, Primfilter, Ordnungsideale?
Okay, aber erst morgen.

>>> Was sind Atom? Kennen Sie Sätze darüber?
Ja, morgen. Sätze fallen mir gerade keine ein.

>>> Was für einen Senf hat Herr Stone dazu gegeben?
Hm, den Darstellungssenf von Stone?

>>> Habt ihr in meiner Vorlesung auch etwas Mengentheorie gelernt?
Ja, aber ich hab den Teil ziemlich verpasst.


Mo 31-01-2011 04:47:47
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Beitrag Re: mündliche Algebra-Prüfung Winkler
Vielen Dank! Sehr unterhaltsam und informativ :D

Kannst du vlt, oder irgendwer sonst, der am 31.1 (heute) Prüfung hat danach ein bisschen was rein schreiben, wie denn der Herr Winkler so bei der mündlichen Prüfung ist, was er fragt usw.?
Das wär ganz lieb, immerhin gibts keine lange Winkler-Algebra-History.

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Mo 31-01-2011 11:39:08
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Beitrag Re: mündliche Algebra-Prüfung Winkler
Die Verteilung der Punkte reicht von 6 bis etwa 20 von 20. Antreten darf man,
wie er gesagt hat, bei dieser Prüfung mündlich in jedem Fall. Für uns fünf
Pioniere nahm er sich etwa zwei Stunden Zeit. Wir waren uns einig, dass die
Zeit bei der schriftlichen knapp bemessen war. Viel Spaß!


2011-01-31, 14:00, Winkler, mündliche Prüfung, 5 Kandidaten
Prüfungsfragen ohne Anspruch auf Vollständigkeit, sogar mit
Unvollständigkeits-Garantie ;-)


Kennen Sie die Kolleginnen, auf die wir noch warten?

Was ist der Typ einer Algebra? Was ist eine Operation?

Was ist eine Varietät?

Definieren Sie das Produkt von Algebren formal korrekt.

Was ist ein Ideal? Welche Arten von Idealen kennen Sie? Nennen Sie ein
populäres Beispiel eines Ideals.

Was ist ein Normalteiler? Warum spielen Normalteiler für uns für ein Rolle?

Was hat es mit der Faktorisierung von speziellen Ringen durch spezielle Ideale
auf sich? Beweisen Sie diesen Satz.

Was ist ein Quotientenkörper? Sagen Sie mir nicht, wie ich ihn konstruieren
kann, sondern formulieren sie nur den Satz dazu.

Wie beurteilen Sie Ihre Leistung bisher? Was wollen Sie erreichen?


Mo 31-01-2011 18:58:17
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Beitrag Re: mündliche Algebra-Prüfung Winkler
Hört sich ja schlimm an.
Trotzdem + für den Unvollständigkeitssatz ;D

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Di 01-02-2011 20:39:24
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Beitrag Re: mündliche Algebra-Prüfung Winkler
könnte jemand seine Mitschrift zur Mengentheorie einscannen und hochladen oder mir schicken (an herbert.pajer@aon.at)?
hab nächste woche mündliche Prüfung :roll:

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Fr 04-02-2011 01:36:22
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Beitrag Bericht von der Prüfung vom 10. Februar 2011
Sodala, heute war der zweite Prüfungstermin. 2011-02-10, 14:00, Besprechungsraum 104, nur 3 Kandidaten.

Die schriftliche Prüfung ist aus seiner Sicht gut ausgefallen. Die Noten sind (mit den üblichen Punktegrenzen) nahezu gleichverteilt.

Dann hat er uns die Beispiele von der schriftlichen Prüfung erklärt, und zwischendurch Fragen dazu gestellt.

Wenn sich jemand fragt, warum die Prüfung nicht in seinem Büro, sondern im Besprechungsraum stattfindet: Er hat es gerne, wenn man die Fragen an der Tafel beantwortet.

Prüfungsfragen:

Was sind die Eigenschaften einer freien Algebra (nicht, wie man sie konstruiert)? Wieso erfüllt die Konstruktion aus dem Prüfungsbeispiel die Definition einer freien Algebra? Nennen sie ein weiteres Beispiel einer freien Algebra.

Was hat es mit der Faktorisierung von Polynomringen nach Idealen auf sich? Beweisen sie, dass das von einem irreduziblen Element erzeugte Hauptideal maximal ist. Beweisen sie, dass ein nach einem maximalen Ideal faktorisierter Ring ein Körper ist.

Gabriel.


Do 10-02-2011 22:22:29
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Beitrag Re: mündliche Algebra-Prüfung Winkler
Prüfung Winkler:

Zur schriftlichen hatten wir Boolsche Algebren(frei erzeugt, viele Hessediagramme, 16 Elementige boolsche Algebra usw.) und Körpererweiterung(F_2[x]/P_1-3 wobei P_1-3 verschiedene Polynome waren dann noch Gradsatz usw.)


Waren zu zweit bei der mündlichen:
Zur mündlichen wollte er dann quasi das wissen wo wir uns bei der schriftlichen schon schwer getan haben (boolsche Algebren). Da wir sowieso nur ne 4 wollten aufgrund der nicht so guten schriftlichen, war er eigentlich sehr angenehm und wollte nur so grundlegende Definitionen und Sätze wissen (wie bekommt man aus ner mengentheoretischen Boolschen Algebra eine Algebraische -> d.h. wie bekommt man aus ner Boolschen Algebra nen Boolschen Ring (er hatte das meiner Meinung nach komisch formuliert)).

Also für ne 4 braucht man definitiv keine Beweise und vermutlich auch keine Lemma lernen. Kann man die großen Sätze sollte es passen.


Di 15-11-2011 11:56:38
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Beitrag Mündliche Prüfung am 28.06.2016
Wir waren zu dritt.

Am Anfang hat er jeden gefragt was wir glauben wie viele punkte wir auf die schriftliche haben. (A 11,5, B 13,25, C 15,5 wenn ich mich recht erinnere)

Dann fing er an A zu fragen, erste frage war Darstellungssatz von Stone, was sagt er aus, wie ist die beweisidee, ungefähre beweisführung, warum ist die gefundene isomorphe einbettung injektiv. Hier gabs dann kleine probleme woraufhin er B und C gefragt hat wer es denn beantworten könnte (mit handzeichen) nachdem er ein bisschen bedenkzeit gegeben hat durfte dann B auf die frage antworten.

Weiter gings mit einer frage an C, gebe zu den euklidischen ringen, hauptidealringen und faktoriellen ringen jeweils beispiele an und eine kurze erklärung dazu. (Bei hauptidealringen die nicht euklidisch sind hat er gemeint das ist nicht nötig, das hat er nur einmal in der vorlesung erwähnt).
Als beispiel für faktorielle ringe die keine hauptidealringe waren wurden dann polynomringe angegeben, worauf er dann kurz die beweis idee gefragt hat, warum der R[X] faktoriell ist wenn R faktoriell ist. (Inhalt, primitv, quotientenkörper, f,g primitiv => f*g primitv).

Dann ist er wieder zu A gegangen und hat nach den formalen potenzreihen gefragt, was können die so, was für eine wichtig unterstruktur haben sie. Geht das nur mit Körpern? Geht das nur mit Ringen? Hier hats wieder kurz probleme gegeben. Woraufhin er wieder B und C gefragt hat, wer es denn wüsste.
Dann hat er B ein stichwort geben lassen (Koprodukt) und es A nochmal probieren lassen. Das hat nicht ganz gepasst also durfte es dann B erklären (Koprodukt einer algebra mit der freien algebra über der variablenmenge). Wann geht das? B: in Varietäten immer.
C: sobald wir Koprodukt und freies objekt haben, also in varietäten sicher.

Schlussfrage für A: Beweisidee warum existiert das koprodukt in varietäten immer?
(Konnte nicht beantwortet werden, wäre die frage auf den 1er gewesen)

Noten: A 2, B 1, C 1

Fazit: er prüft die mit weniger punkten mehr, bei B und C war es mehr ein abchecken, ja die können eh fast alles. Wenn man in einer sackgasse gelandet ist gibt er ein bisschen zeit, lässt eventuell von den anderen helfen, will es aber dann schon wissen.
Zwischendurch ein bisschen smalltalk, alles in allem eine angenehme prüfung, beweise mussten nie vollständig ausgeführt werden, aber er wollte wissen ob man den beweis verstanden hat.


Mi 29-06-2016 12:50:24
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Beiträge: 24
Studium: Bachelor Finanz- und Versicherungsm.
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Beitrag Re: mündliche Algebra-Prüfung Winkler
Wir hatten heute zu dritt Prüfung. Die schriftliche Prüfung war am 20.6.18 mit insgesamt 18 Punkte. Ich hatte 12,25 Punkte, Student B 11,5 Punkte und Student C iwas unter 9 Punkte (Winkler sagt nur, er ist knapp unter positiv). Also hat er sehr viel Student C gefragt, Student B mäßig viel und mich wirklich wenig.

1. Frage an C: Was sagt der Darstellungssatz von Cayley aus? --> Der wusste es so gar nicht. Die Frage geht weiter an B. Der konnte es super aufschreiben. Dann fragte er mich "Können Sie das beweisen?" Ich: na gut, kann ich probieren... und das hab ich auch gemacht. War nicht perfekt, aber ich glaube, er war zufrieden, dass ichs probiert habe... Ich hatte "Vorbereitungs- und Nachdenkzeit" und habe währenddessen nicht gehört, was Student C gefragt wurde. Es war aber glaub ich zu Symmetrische Gruppen: S_3 aufschreiben und Unteralgebra bestimmen... Dann Verbindung zu Normalteilern und Kongruenzrelationen sagen... Das mit der Unteralgebra konnte iwie keiner von uns sagen... dann hat er gesagt "Ich sage jetzt drei Schlagwörter und wer als erstes aufzeigt, darf sich aussuchen, wozu er was sagt und darf anfangen" Die Schlagwörter waren: faktorieller Ring, Hauptidealring und ich euklidischer Ring. Student C war als erster, dann B und dann ich. C suchte sich faktorieller Ring aus, B Hauptidealring und für mich blieb halt dann der Rest über. C und B haben alles gesagt, was zu sagen war. Ich hab dann auch gesagt, wie der euklidischen Ring charakterisiert wird und dass es einen Algorithmus zur Berechnung des ggT gibt. Da hat er mich gefragt, dass ichs aufschreiben soll, wie der geht. Ist grundsätzlich nicht schwer, ich hatte aber ein Blackout. Dafür konnte es B. Dann war die Prüfung vorbei.

Ich hab dann einen 3er bekommen, er hat gesagt, dass ich den Algorithmus nicht aufschreiben konnte, hat mich den 2er gekostet. B hat dafür nen 2er bekommen. Und C hat auch nen 3er bekommen, obwohl sein Start sehr schlecht war und seine schriftliche auch nicht. Aber der Winkler meinte, er schätzt ihn eher gut ein, nur dass er glaubt, dass er einfach schlecht spekuliert hat.

Prüfung war meines Erachtens einfach.


Di 26-06-2018 11:56:01
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