Wuhu! Erster, Erster! (morgen/heute, beim mündlichen Teil der Algebra-Prfg. mit Winkler)
Ich stell hier meine *unzensierte* Prüfungsvorbereitungsmitschrift rein.
Zweck A: Vielleicht hilft Sie jemanden anderen.
Zweck B: Vielleicht hilft mir noch jemand mit meinen Fragen oder weist mich auf Fehler in meiner Weltanschauung hin (falls ich überhaupt vor 13:00 aufsteh).
Siehe auch: eine paar gesammelte Goldsternsche Prüfungsfragen im Forum
viewtopic.php?f=97&t=1836>>> Körpererweiterungen: Was ist eine Körpererweiterung?
ein Oberkörper/Erweiterungskörper; Bei gegebenen f(x)∈K[x] mit grad(f)=n ≥1
heißt ein Oberkörper L≥K Nullstellenkörper, wenn f(x) n Nullstellen in L
besitzt, also in Linearfaktoren zerfällt. Nach Kronecker existiert zu jedem
f(x)∈K[x] ein Nullstellenkörper. Ein minimaler Nullstellenkörper heißt
Zerfällungskörper (von f(x) bezüglich K).
>>> Was spielen Ideale dabei für eine Rolle?
Der Kern des Einsetzungshomomorphismus φ_α ist ein Ideal auf K[x], α∈ L ≥K. Das
wissen wir aus dem Homomorphiesatz für Ringe, so wie auch K[α] ≅ K[x]/ker(φ_α).
Das steht im Zusammenhang mit der Definition von algebraisch und transzendent
über K: α∈L algebraisch über K :⇔ ∃f(x)∈K[x]\{0}: f(α)=0, α transzendent über K
:⇔ wenn es kein solches f(x) gibt - was heißt ker(φ_α)={0} für transzendente α
und ker(φ_α)≠{0} für α algebraisch über K. Ah ja, K[α] bezeichnen wir als
φ_α(K[x]) und ist folglich der kleinste Unterring von L, der K∪{α} enthält.
Und um was es da eigentlich geht ist, dass ein irreduzibles Polynom ein
maximales Ideal erzeugen. Genau für solche ergibt die Faktorisierung des
Polynomrings über einem Körper wieder einen Körper.
>>> Wie und warum kann man wo etwas mit irreduziblen Polynomen konstruieren?
Ist K Körper und f(x) irreduzibel in K[x], dann ist der Restklassenring
K[x]/(p(x)) wieder ein Körper. Zerfällungskörper lassen sich eben so
konstruieren.
>>> Welche Oberkörper von Q kennen Sie?
Zum Beispiel C - dieser stellt den algebraischen Abschluss von Q dar, dass
heißt, C ist der kleinste algebraisch abgeschlossene Oberkörper von Q. Darin
zerfällt jedes nicht konstante f(x)∈Q[x] oder ∈C[x] in Linearfaktoren. Dazu
äquivalent ist, dass jedes nicht konstante f(x) eine Nullstelle in C hat - oder
jedes nicht konstante irreduzible - oder jedes solches linear ist - oder jede
algebraische Erweiterung von C wiederum gleich C ist. Zwischen C und Q liegen
noch viele Erweiterungskörper von Q - zum Beispiel Q[√2] = Q[x]/(x^2-2).
>>> Was ist ein ZPE-Ring?
ZPE steht für Zerlegung in Primelemente eindeutig. Ein Integritätsbereich I ist
so :⇔ ∀a∈I/E(I): ∃ p_1,..,p_r mit a=p_1‥...‥p_r. Auch wird er Gaußscher Ring
oder faktorieller Ring genannt.
>>> Wie konstruiert man einen minimalen Oberkörper von Q, der e enthält?
Wir definieren den Quotientenkörper von Q: Q(x) = {p(x)/q(x) : p,q∈Q[x], q≠0}
und wenden den Einsetzungshomomorphismus φ_e darauf an. Nachdem die Potenzen
von e in Q l.u. sind, ist der Grad der Körpererweiterung unendlich [Q(e):Q]=∾.
>>> Gibt es freie Körper?
Ja sicher. Zum Beispiel in der Klasse der Körper mit Char=n∈N∪{∾} gibt es einen
Körper, der frei über der leeren Menge ∅ ist. Das sind übrigens die Primkörper.
>>> Erzählen Sie etwas über das Koprodukt freier Algebren.
In einer Varietät V versteht man unter dem Koprodukt zweier Algebren (A1,A2)
das Tripel (C,i1,i2) wobei C aus V ist und ij:Aj→C zwei Homomorphismen sind und
für alle (D,f1,f2) mit D aus V und Homomorphismen fj:Aj→D gilt: ∃ eine
eindeutige Fortsetzung h:C→D mit h∘ij=fj. In manchen Klassen müssen i1,i2
injektiv sein, in anderen nicht.
>>> Was ist eine Kongruenzrelation?
Eine Kongruenzrelation ~ auf einer Algebra (A,Ω) ist eine Äquivalenzrelation
(das heißt reflexiv, symmetrisch und transitiv) für die gilt: ∀ ω∈Ω mit
Stelligkeit n: a_k ~ b_k ∀k=1..n => ω((a_k)k=1..n) ~ ω((b_k)k=1..n))
>>> Ist die Gleichheitsrelation immer eine Kongruenzrelation?
Ja.
>>> Was ist eine einfache Algebra? Nennen Sie Beispiele.
Einfach nennt man eine Algebra, die nur die trivialen Kongruenzrelationen
besitzt. Jede Algebra A mit |A|≤2 ist einfach. (Zp,+) und die alternierende
Gruppe A_n = {π∈S_n : sgn(π)=1} ist einfach. Körper sind auch einfach.
>>> Wie war das bei der Prüfung: Welche Kongruenzrelationen gibt es auf (N,f)
>>> mit f(0):=0, f(k):=k-1 für k≥1?
Angenommen es gilt i~j für i<j o.B.d.A. ⇒ f(i)~f(j). Um zu zeigen dass alle k≤j
in der selben Kongruenzklasse liegen, zeigen wir j ~ 0 und j-1 ~ 0: Sei d:=j-i,
d≥1. Also gilt j ~ j-d. Induktiv folgt aus f^d(j)=max{j-d,0} ~
f^d(j-d)=max{j-2d,0}, dass j ~ 0. Da j-1 ~ max{0,i-1 = j-d-1} folgt auch j-1 ~
0. qde.
>>> Was ist ein Normalteiler? Wozu brauchen wir sie? Nennen Sie ein Beispiel
>>> einer Gruppe mit einer Untergruppe, die kein Normalteiler ist.
Ein Normalteiler ist ein N⊆G einer Gruppe G, für den gilt: Rechtsnebenklassen =
Linksnebenklassen, also xN ⊆ Nx ∀x∈G. Im Speziellen sind alle Untergruppen
einer abelschen Gruppe Normalteiler. Alternativ kann man ihn auch so
beschreiben: ein bezüglich aller Konjugation mit Elementen aus G abgeschlossene
Untergruppe, d.h. ∀x∈G: xNx^-1 ⊆ N. Beispiel: {id,(12)} ≤ S_3 - nachzurechnen.
Übrigens wissen wir, dass in einer Gruppe die Kongruenzrelationen den
Normalteilern bijektiv entsprechen - darüber kann man auch die Eigenschaft
"einfach" in Gruppen beschreiben. Wir brauchen Sie, um Faktorgruppen zu bilden
und diese erweisen sich als nützlich dank der Isomorphiesätze für Gruppen.
>>> Was sagen diese Isomorphiesätze aus?
Puh, so einiges. Der zweite sagt für N1 <| G, N2 <| G und N1⊆N2:
- N1 <| N2
- N2/N1 ⊆ G/N1
- sogar N2/N1 <| G/N1
- G/N2 ≅ (G/N1)/(N2/N1) Und der erste sagt für U ≤ G und N <| G:
- NU = UN
- NU, N∩U ≤ G
- N <| NU
- N∩U <| U
- NU/N ≅ U/(N∩U)
>>> Wie hängen Primzahlen und Primelemente zusammen?
Die Primzahl sind im faktoriellen Ring der ganzen Zahlen Primelemente.
>>> Wieviele Automorphismen hat GF(8)? Beweisen Sie ihre Aussage.
GF(8)=GF(2^3). Es gilt Char=2. Behauptung: GF(8) ≅ (Z/2Z)[x]/(p(x)) für ein
irreduzibles Polynom p(x)∈ Z/2Z des Grads 3. Probieren wir es mit p(x):=
x^3+x+1. Wir sehen p(0)=1, p(1)=3=1, also hat p(x) keine Nullstellen und ist
somit irreduzibel. Weiters haben wir [GF(8):Z/3Z] = 3 und {1,α,α^2} als Basis
gegeben und es gilt: α^3 = α+1. So könnten wir uns nun auch die Operationstafel
ausrechnen. Aber eigentlich wollten wir ja die Anzahl der Automorphismen
wissen. q=8, p=2,n=3. Der Frobenius-Homomorphismus f(x)=x^p hat die Ordnung n
und erzeugt die Automorphismengruppe Aut(GF(8)). Also haben wir genau n
Automorphismen.
>>> Erzählen Sie alles mögliche über Galoistheorie, Verbandstheorie, boolesche
>>> Algebren und Ringe! Und danach werde ich Ihnen noch eine Frage
>>> präsentieren, mit der Sie sicher nicht gerechnet haben.
Oh je.
>>> Hey, warum ist die Primelementzerlegung in ZPE-Ringen eigentlich eindeutig?
Wenn für ein a∈R p1,..,pr und q1,..,qs Primelementzerlegungen sind, dann folgt:
p1 | q1‥..‥qj‥..‥qs und daher gibt es ein j∈{1..s} mit p1 ~ qj. Weiters geht es
mit p2 | q1‥..‥qs (ohne qj) und dem selben Argument, bis wir nach r Schritten
bei einer Einheit angelangt sind.
>>> Bei was haben Sie Probleme gehabt?
Aus Gründen, über die ich selbst nur mutmaßen kann, habe ich die Fragen mit
Fr(A), Fr(B) und dem x^(p^n)-x einfach nicht angesehen. Abgesehen von meinen
inneren Hemmungen war mir die Zeit fast zu knapp.
>>> Erzählen Sie mir doch noch ein bisschen über Filter in Booleschen Algebren!
>>> Was sind Ultrafilter, Primfilter, Ordnungsideale?
Okay, aber erst morgen.
>>> Was sind Atom? Kennen Sie Sätze darüber?
Ja, morgen. Sätze fallen mir gerade keine ein.
>>> Was für einen Senf hat Herr Stone dazu gegeben?
Hm, den Darstellungssenf von Stone?
>>> Habt ihr in meiner Vorlesung auch etwas Mengentheorie gelernt?
Ja, aber ich hab den Teil ziemlich verpasst.