Die Algebra ist großzügig - oft gibt sie mehr, als wonach man gefragt hat.
Jean Le Rond d'Alembert


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UE6 
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Beitrag UE6
frage zu Bsp. 1: die existenz und eindeutigkeit der lösung folgt doch aus Picard-Lindelöf. doch wie bestimme ich nun das maximale Existenzintervall? ich schätze mal bei a) kommt ein globales Existenzintervall raus, da x' beschränkt ist, und somit keine probleme bestehen. aber bei den anderen...

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Do 02-12-2010 15:00:15
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Beitrag Re: UE6
Bei c kann man die DG einfach lösen und sieht dann für welche t, x(t) existiert. Aber bei b komme ich auch nicht weiter... :(

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Es gibt drei Sorten von Mathematikern: Die einen können zählen, die anderen nicht :)


Fr 03-12-2010 22:47:56
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Beitrag Re: UE6
Hat jemand eine Idee wie man 5. ansetzt?


Sa 04-12-2010 12:20:43
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Beitrag Re: UE6
Versteh ich das beim 5. richtig, wenn ich annehme, dass der Hund zu jedem Zeitpunkt seine Schwimmrichtung wieder neu ausrichtet??


Sa 04-12-2010 13:23:50
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Beitrag Re: UE6
Hätte auch noch eine Frage zu Beispiel 4
Lt. Angabe
$f:\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$
Sollte das nicht eher
$f:\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$
heißen??


Sa 04-12-2010 13:56:02
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Beitrag Re: UE6
ad 5.:

ich hab dazu eine Vektorzerlegung gemacht:

$v_H = \sqrt{(v_{H_x})^2 + (v_{H_y})^2}$. \\ \\Befindet sich der Hund zu einem beliebigen Zeitpunkt $t_0$ am Punkt $(x_0/y_0)$, dann gilt f"ur die Geschwindigkeit des Hundes zu diesem Zeitpunkt \\ \\$v_{H_{x_0}} = \frac{x_0}d, v_{H_{y_0}} = \frac{y_0}d$ f"ur $d=\frac{\sqrt{(x_0)^2+(y_0)^2}}{v_H}$\\ \\ gem"a"s der Formel f"ur gleichf"ormige Bewegung $v = \frac st$.\\
Sei die Komponente $v_{H_x}$ jetzt parallel zur Flussgeschwindigkeit, sodass der Hund also in diese Richtung abgetrieben wird, dann gilt f"ur die effektive Fortbewegung des Hundes in x-Richtung $v_{x_{ges}} = v_{H_x} + v_F$. \\
d.h. meine DG schauen jetzt aus wie folgt: \\ \\
$x' = \frac xd + v_F = \frac {x \cdot v_H}{\sqrt{x^2 + y^2}} + v_F$ \\
$y' = \frac yd = \frac {y \cdot v_H}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

Soweit mal mein Ergebnis...

lg

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Sa 04-12-2010 14:49:14
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Beitrag Re: UE6
Hat jemand bei 1b.) schon das Existenzintervall? Wie bekomm ich denn das, wenn ich die Lösung nicht explizit kenne?

edit: Einen Tipp zu 3.) würde ich auch nehmen. ;)


Sa 04-12-2010 14:53:03
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Beitrag Re: UE6
Also zu 1b.) kann ich nur sagen, dass man sich mal die Fälle x=k*PI näher betrachten sollte ... der Rest dürfte dann eh klar sein :-) ...
Bei 2.) muss man nur ein bisschen argumentieren
Bei 3.) weiß ich selber noch nicht so recht (bis auf die Ruhelage(n) hab ich noch nichts)
4.) sollte für R kein Problem sein, für R^n glaub ich gar nicht, dass das funktioniert, zumindest denk ich mir dann immer "und was wenn das so ist ..." und finde kein stichhaltiges Gegenargument ... (oder ich steh einfach auf der Leitung ...)
und eine Induktion nach n hab ich auch schon erfolglos probiert ... :-(
Beim 5.) mit Polarkoordinaten könnte ich mir denken (hab's aber noch nicht probiert)
Beim 6.) gib's hier eh schon einen Thread ausm WS 08 ... aber mit Punkt 3 bin ich immer noch nicht wirklich zufrieden ...

Hat von euch einer vielleicht schon mehr???

LG


So 05-12-2010 12:06:52
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Beitrag Re: UE6
Ich bin diesmal ganz schlecht unterwegs :(
1. hab ich b) noch nicht, muss mir jetzt dann mal die Fälle x=k*pi anschaun (danke)
2. blick ich nicht so recht durch , @mussnig wie hast du da argumentiert?
3. ebenfalls nur Ruhelage, hätt es probiert wie im Skript auf S. 52/53 aber klappt nicht so recht
4. noch nicht probiert
5. ???? :)
6. is nicht so schwer, hab mir den Thread ausm WS08 noch nicht angesehen aber ich hab c) so gemacht:

$X^{-1}X=E \Rightarrow \ \ d(X^{-1})X+X^{-1}dX=0 \Rightarrow \ \ d(X^{-1})=-X^{-1}dXX^{-1}$


So 05-12-2010 12:36:59
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Beitrag Re: UE6
edit: ok, war zu langsam, dann ging meine tolle idee zu bsp 3 wohl doch nicht... :(
kann vl wer den link zum entsprechenden bsp 6 vom ws 08 posten, find den grad nicht!


Zuletzt geändert von Elin am So 05-12-2010 12:44:54, insgesamt 1-mal geändert.



So 05-12-2010 12:41:08
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Beitrag Re: UE6
naja, wenn du auf meinen Post anspielst, nur weil ichs nicht zusammengebracht habe heist das nicht dass es nicht nicht funktioniert wie das Bsp. im Skript :wink:


So 05-12-2010 12:44:27
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Beitrag Re: UE6
ok, na dann werd ich das mal durchdenken, vl löst es sich auf wunderbare weise doch in wohlgefallen auf (schön wärs^^)


So 05-12-2010 12:46:40
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Beitrag Re: UE6
Ich kann zum zweiten Mal den Tip geben sich das hier durchzulesen, hat mir geholfen. ;)

http://books.google.com/books?id=tyAdMH ... ng&f=false

Was mir dazu allerdings noch fehlt ist der Teil für die Lösung des AWP, kann mir da jemand helfen?
@mussnig: hast du dir da Ober- bzw Unterfunktionen überlegt?


So 05-12-2010 13:26:01
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Beitrag Re: UE6
ok, hab grad lange am 3. herum getan und komm aber fürchte ich auf nix ordentliches... ich hab mir bsp 3.3 im skriptum angeschaut und überlegt ob ich es verwenden kann.. er sagt da was aus über die steigungen, also hab ich mir die angeschaut.
ich komm drauf, dass die beiden variablen u und v nur dann wachsen können, wenn sie beide negativ sind (was mir aber durch das awp zunächst ausgeschlossen wird), und passend dazu, dass sie fallend sind für alle u ungleich a (weil das ja die ruhelage ist) - hab ich hier nicht sicher einen fehler? es müssten doch alle lsg zur ruhelage konvergieren, oder? sonst wäre ja bei (0,0) auch eine...


So 05-12-2010 13:32:55
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Beitrag Re: UE6
@ Beispiel 2.) Also x1 und x2 sind ja stetig und existieren auf ganz R (folgt aus der diffbarkeit). Dann mach ich x1*, dass bei t0 mit x1 übereinstimmt und dann aber der Diffglg folgt. Selbiges für x2.
Dass x1* immer größer gleich x1 auf dem Existenzintervall von x1* ist klar.
Sollte x1* nicht maximale Existenz haben, so muss es also einen Blow-Up machen. Nach unten geht nicht, da dann die Bed. verletzt wäre, dass es immer größer gleich x1 ist und x1 aber stetig bleibt.
Nach oben geht auch nicht, da ja bis zum Blow-Up selbst die Lösung eindeutig ist und es sich dann aber einmal mit x oder x2* kreuzen müsste und wir einen Widerspruch zur Eindeutigkeit erhalten. (Kann man jetzt mit Fallunterscheidung machen dass man einmal annimmt, dass x auf ganz R existiert und dann den Fall dass es nicht so ist auf einen Widerspruch führt oder halt mit x2* ...)
Selbige Argumentation für x2*.
Damit kann auch x keinen Blow-Up machen weils sonst mit x1* oder x2* kreuzen müsst bevors den Blow-Up macht und das wäre wieder ein Widerspruch zur Eindeutigkeit auf dem Existenzintervall. Dann muss aber x auf ganz R eindeutig sein und somit können die sich wieder nicht kreuzen und bleiben immer drunter oder drüber ...

@ Beispiel 3.) ich hätt noch anzubieten, dass wenn u(t0) und v(t0) größer gleich 0 sind, dass das dann auch so bleibt (also dass sie nicht kleiner 0 werden können) ... aber ich hab dann nur größer gleich 0 und nicht echt größer ...


So 05-12-2010 14:59:43
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