heute ist der Geburtstag von
Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


Auf das Thema antworten  [ 13 Beiträge ] 
WS09: Übungsblatt 8 
Autor Nachricht

Registriert: 10/2008
Beiträge: 27 + 69
Mit Zitat antworten
Beitrag WS09: Übungsblatt 8
Hallo!

Diese Nachricht wird vor allem die Montagsleute betreffen, drum stelle ich sie früh genug hier rein:
Ich bin mir nicht sicher, ob ich dieses Wochenende etwas für Numerik schaffen und online stellen werde. Ich werde mich aber bemühen, so viele Nummern wie möglich zu bearbeiten!

EDIT: 3-4 Nummern wirds sicher von mir geben ;)

Lg
Andreas


Fr 20-11-2009 15:46:44
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2008
Beiträge: 27 + 69
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: WS09: Übungsblatt 8
Ich häng grad bei 8.3) b):

Das Interpolationspolynom zu $f(x) = x\sin(\frac{\pi}{x})$ und f(0) = 0 ist bei mir

$p_n(x) = \sum_{j=1}^n (\frac{j}{n}\cdot\sin(\frac{n\pi}{j})\prod_{j\neq i = 0}^n \frac{nx-i}{j-i})$

Nun soll eine Aussage über die Konvergenz getroffen werden ... die Stelle x = 0 schaut sehr verdächtig aus, ich vermute, dass das Interpolationspolynom dort nicht konvergiert; ich weiß aber nicht, wie ich das zeigen soll. Jemand Ideen?

Lg


Sa 21-11-2009 13:06:40
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 04/2008
Beiträge: 24 + 7
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: WS09: Übungsblatt 8
Also mein Interpolationspolynom schaut auch so aus. Ich glaub aber nciht das die stelle null probleme macht. Die ist ja in jedem schritt sogar stützstelle. Aber rechts neben der null wird es sicher probleme geben. Nur ich hab auch keine idee wie man das zeigen kann

lg


Sa 21-11-2009 13:45:55
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2008
Beiträge: 27 + 69
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: WS09: Übungsblatt 8
Ja, die Stützstellen sollten doch hoffentlich passen :D

Noch etwas zu meinem ersten Post:
Ich werde dieses Wochenende keine Beispiele online stellen, da es mir persönlich absolut nicht gut geht. Ich bin mir darüber im Klaren, dass einige am Montag noch unbedingt Beispiele kreuzen müssen und ich will helfen, wo es nur geht; jedoch habe ich heute probiert, übungen auszuarbeiten und habe gemerkt, dass ich gerade nicht dazu in der Lage bin.
Wer irgendwelche Übungen (oder selbst nur Ansätze dazu) hat, den bitte ich diese zu posten! Weiters bitte ich auch um euer Verständnis und wünsche euch ein möglichst erholsames Wochenende!

Lg


Sa 21-11-2009 14:48:38
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2008
Beiträge: 27 + 69
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: WS09: Übungsblatt 8
Ein paar Hinweise:

8.2: mit 3-Term-Rekursion aus Satz 6.18 (iii) der VO (rechnen?)
8.3: a) http://techmath.czechnology.cz/viewtopic.php?f=89&t=1007&start=0 ganz unten
8.5: a) und b) im Skriptum von Auzinger und Praetorius, S 109 unten, S 110 oben
c) sollte direkt nach einem Basiswechsel des Polynoms v folgen (Lagrange-Darstellung ist eindeutig!)
8.6: a) nachrechnen (?)
b) folgt aus den Sätzen 4.16 und 4.4 aus dem Auzinger-Skriptum (Knotenabstand ist hier geeignet abzuschätzen)


So 22-11-2009 13:06:30
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 03/2009
Beiträge: 27 + 32
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: WS09: Übungsblatt 8
Zitat:
8.2: mit 3-Term-Rekursion aus Satz 6.18 (iii) der VO (rechnen?)

Genau, aber beweisen konnte ich's noch nicht - Mordsrechnerei.

8.3 b)
Zitat:
Also mein Interpolationspolynom schaut auch so aus. Ich glaub aber nciht das die stelle null probleme macht. Die ist ja in jedem schritt sogar stützstelle.

Habs noch nicht genau gerechnet. 0 ist eine Stützstelle, aber wenn man sich von rechts der Stelle 0 nähert, so divergiert die (n+1)-te Ableitung, wenn man Satz_6.12 verwendet.

8.5 c)
Welcher Basiswechsel? Ja, folgt aus Eindeutigkeit.

8.6 a)
Hier verwendet man (6.23) für die beiden Knotenmengen, und kommt zum Ergebnis.

8.7) ???


So 22-11-2009 16:28:58
Diesen Beitrag melden
Profil
Benutzeravatar

Registriert: 10/2007
Beiträge: 28 + 204
Wohnort: 1040 Wien // Waldviertel
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: WS09: Übungsblatt 8
8.6a) TeX mags nicht, warum auch immer:
Code:
Sei $\psi(t):=(a+b+t(b-a)$ die bijektive Funktion welche [-1,1] in [a,b] überführt.
D.h.: $\forall x \in [a,b] \exists ! y \in [-1,1] : y=\psi^{-1}(x)$.

Nun ist $$\Lambda_n^{[a,b]} = max_{ \x \in [a,b]}( \sum_{i=0}^n( \abs(L_i(x))) ) =
max_{ \x \in [a,b], y=\psi^{-1}(x)}( \sum_{i=0}^n( \abs(L_i(y))) ) =
max_{ \y \in \psi^{-1}([a,b])=[-1,1]}( \sum_{i=0}^n( \abs(L_i(y))) ) = \Lambda_n^{[-1,1]}$$

_________________
Why do Computer Scientists get Halloween and Christmas mixed up?
Because: oct 31 = dec 25


I wish to complain about this parrot that I purchased not half an hour ago from Fachschaft TM.


Mo 23-11-2009 23:54:02
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 05/2009
Beiträge: 23 + 4
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: WS09: Übungsblatt 8
8.2:

Ich weiß nicht, was 3-Term rekursion is, aber da irgendwer gemeint hat, dass das eh zach is, geht auch anders:
Da steht im Wesentlichen:

T_n(cos(z))=1/2((cos(z)-i*sin(z))^n+(cos(z)+i*sin(z))^n)=1/2*(e^(niz)+e^(-niz))=cos(n*z)

also für x aus [-1,1] definiert der Ausdruck genau das selbe wie unsere bekannte definition von den Tschebyescheffpolynomen. Der Term ist außerdem in jedem Fall ein Polynom (^n nach Binomischem Lehrsatz ergibt, dass sich die für ungerades k wegkürzen dadurch, dass einmal x+wurzel und einmal x-wurzel steht und für gerades k kürzt sich die wurzel halt mit dem quadrat...)

also steht da ein polynom, das der definitionsgleichung für die tschebyescheffpolynome genügt...

dass da zwischendurch complexe zahlen vorkommen is uns egal... dazu haben wir sie ja..


Di 24-11-2009 00:21:51
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 05/2009
Beiträge: 23 + 4
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: WS09: Übungsblatt 8
8.3b wenn ich das in maple für n=100 mach, dann kommen mir vor allem im bereich nahe 1 ganz wilde werte von 10^70 und mehr raus für das polynom... also eher dort suchen... bin noch am überlegen, wie genau ich das klar hinkrieg..


Di 24-11-2009 00:23:41
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 05/2009
Beiträge: 23 + 4
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: WS09: Übungsblatt 8
für n=20 wirds aber auch nahe 0 so um die 4000 rum, dafür nahe 1 nur so 5, oder so..


Di 24-11-2009 00:26:23
Diesen Beitrag melden
Profil
Benutzeravatar

Registriert: 10/2008
Beiträge: 27 + 21
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: WS09: Übungsblatt 8
SOADdict hat geschrieben:
8.6a) TeX mags nicht, warum auch immer:


\abs ist keine definierte fkt, und \x bzw \y waren auch ein problem ...

hier also lesbarer:

_________________
What do you call a bird that flew away from home?
Poly-gon!


Di 24-11-2009 04:21:06
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 05/2009
Beiträge: 23 + 4
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: WS09: Übungsblatt 8
8.6b

$||f-I_n^{[a,b]} f||_{C_{[a,b]}} \leq (1+\Lambda_n) \min_{p \in P_n}{||f-p||_{C_{[a,b]}}} \leq (1+\Lambda_n) \frac{||f^{(n+1)}||_{C_{[a,b]}}}{(n+1)!} ||\omega_{n+1}||_{C_{[a,b]}}$
und zwar für eine beliebige verteilung der knoten...
jetzt lass ich die knoten alle gegen die mitte wandern, nur halt so, dass sie immer noch paarweise verschieden bleiben, dann steht da:
$\leq (1+\Lambda_n) \frac{||f^{(n+1)}||_{C_{[a,b]}}}{(n+1)!} (\frac{h}{2})^{n+1}$


Di 24-11-2009 11:17:28
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 05/2009
Beiträge: 23 + 4
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: WS09: Übungsblatt 8
8.7 is ganz leicht...
$p-\tilde{p}$
is das polynom, das entsteht, wenn ich eine funktion interpoliere, für die gilt:
$g(x_i)=f_i-\tilde{f_i}$

jetzt in 8.5 (1) einsetzen und halt statt der norm über f
$\max_i{f_i-\tilde{f_i}}$
nehmen...


Di 24-11-2009 11:33:55
Diesen Beitrag melden
Profil
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:  Sortiere nach  
Auf das Thema antworten   [ 13 Beiträge ] 


Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 1 Gast


Du darfst neue Themen in diesem Forum erstellen.
Du darfst Antworten zu Themen in diesem Forum erstellen.
Du darfst deine Beiträge in diesem Forum nicht ändern.
Du darfst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du darfst keine Dateianhänge in diesem Forum erstellen.

Suche nach:
Gehe zu:  
cron
Powered by phpBB © phpBB Group.  |  Designed by STSoftware for PTF  |  © Czechnology 2007 - 2024  |  Deutsche Übersetzung durch phpBB.de