heute ist der Geburtstag von
Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


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WS10: Übung 10 
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Beitrag WS10: Übung 10
Hey, hat jemand schon Lösungen für die 10. Übung? Wäre super, wenn jemand Lösungen posten könnte!! :)

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Es gibt drei Sorten von Mathematikern: Die einen können zählen, die anderen nicht :)


Sa 11-12-2010 18:42:42
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Beitrag Re: WS10: Übung 10
Meine Lösung von Beispiel 79:
$(X_k)_{k\in\mathbb N}$ sei die Folge reeller diskreter stochastischer Größen mit $\mathbf{P}[X_k=-k]=\mathbf{P}[X_k=k]=\frac{1}{2}\quad\forall k\in\mathbb N$.

Für alle Folgenglieder gilt:
$\mathbb E X_k=\sum_{x\in\mathbb R}x\cdot\mathbf{P}[X_k=x]=-k\frac{1}{2}+k\frac{1}{2}=0$

$\mathbf{P}[|X_k-\mathbb E X_k|\geq k]=\mathbf{P}[|X_k|\geq k]=1$
$\operatorname{var}(X_k)=\mathbb E(X_k-\mathbb E X_k)^2=\mathbb E X_k^2=\sum_{x\in\mathbb R}x^2\cdot\mathbf{P}[X_k=x]=(-k)^2\frac{1}{2}+k^2\frac{1}{2}=k^2$


So 12-12-2010 15:43:35
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Beitrag Re: WS10: Übung 10
Beispiel 80:

a) $X\sim P_\lambda$ ($X$ ist Poisson-verteilt mit Parameter $\lambda >0$), Merkmalsraum $M_X=\mathbb N_0$
$\Psi_X(t)=\mathbb Ee^{Xt}=\sum_{\omega\in M_X}e^{\omega t}\mathbf{P}[X=\omega]=\sum_{\omega\in\mathbb N_0}e^{\omega t}e^{-\lambda}\frac{\lambda^\omega}{\omega!}=e^{-\lambda}\sum_{\omega\in\mathbb N_0}\frac{(e^t\lambda)^\omega}{\omega!}=e^{-\lambda}e^{e^t\lambda}=e^{(e^t-1)\lambda}$

b) $\Psi_X(t)=\mathbb Ee^{Xt}=\int_\mathbb Re^{xt}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)dx=\int_\mathbb Re^{(y+\mu)t}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{\sigma}\right)^2\right)dy$
$=\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)\underbrace{\int_\mathbb R\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\sigma^2 t^2}{2}+yt-\frac{y^2}{2\sigma^2}\right)dy}_{1}=\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
Beim dritten Gleichheitszeichen wird $x-\mu=y$ substituiert.
Das Integral im vorletzten Term ist gleich 1, weil dessen Integrand genau die Dichte von $N(\sigma^2 t,\sigma^2)$ ist.

c) fehlt mir noch, zur Cauchy-Verteilung existiert aber keine momenterzeugende Funktion, d.h. hier ist allenfalls die Nichtexistenz des entsprechenden Integrals zu zeigen.


So 12-12-2010 17:54:00
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Beitrag Re: WS10: Übung 10
zu 80c) hab ich mal folgendes überlegt:

der Erwartungswert der Cauchy-V. ist EX= int( x /(1+x)^2, -infinity..infinity ) welches aber nicht existiert.

Jetzt ist ja das k-te Differential an der Stelle 0 der momenterzeugenden genau das k-te Moment.
Das 1.Moment(EX) existiert aber nicht also auch die höheren nicht, und weil es kein Moment gibt folgt dass es auch keine Momenterzeugende gibt

_________________
1+1=3 für hinreichend grosse 1


Di 14-12-2010 10:00:26
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Beitrag Re: WS10: Übung 10
hat jemand 83 gelost? diese konvergenzkriterien im skriptum kannich nicht so gut verstanden :-(


Mi 15-12-2010 23:51:15
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