Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.
Galileo Galilei


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WS09: 3. Übung 
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Beitrag WS09: 3. Übung
Hallo!

Ich hab mir mal das 1. Beispiel angeschaut und denke, dass es mit folgendem Gegenbeispiel gehen sollte: Ich betrachte das Werfen eines Würfels mit dem gewöhnlichen W-Maß P und die Mengen $A_1:=\{1,2\},A_2:=\{2,3\},A_3:=\{4,5\}$. Jetzt kommen für h=1,2,3 folgende oberen Schranken heraus:
$h=1:1/6,h=2:0,h=3:1/6$ (bitte nachprüfen, vielleicht hab ich mich verrechnet!)
Diese Schranken sind nicht monoton fallend. Reicht das bereits? ... Das wär echt einfach


Sa 24-10-2009 15:03:42
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
Ich denk leider nicht, dass das so funktioniert. Die Bonferroni-Ungleichung liefert ja für ungerades h obere Schranken und für gerades h untere Schranken.

Hab allerdings auch noch keine Idee, wie man ein Gegenbeispiel konstruieren könnte.


So 25-10-2009 15:13:44
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
Also bei mir war das Bsp. ganz einfach (hoffentlich nicht falsch):

Man nehme irgendwelche Mengen $A_1=A_2=A_3=A_4=:A$, denen man das Maß 1 zuordnet. Dann ist die erste untere Schranke 0 (leere Menge), die zweite ist $0+4\mu(A)-6\mu(A)=-2$ und somit kleiner als die erste.


So 25-10-2009 16:41:42
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
Eine Frage zu Bsp. 3: Ist hier wirklich gemeint, dass man zeigen soll, dass $S_n$ fast immer negativ ist, und nicht, dass dies mit Wahrscheinlichkeit 1, also fast sicher, der Fall ist? Ich schaffe nämlich nur Letzteres...


So 25-10-2009 16:43:52
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
Also ich hab da gezeigt, dass $P[\limsup_{n \to \infty} S_n \ge 0]=0$. Demnach sind nur endlich viele $S_n \ge 0$ und $S_n$ "fast immer" negativ. Denkfehler vorbehalten :wink:


So 25-10-2009 18:39:16
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
Anna1 hat geschrieben:
Dann ist die erste untere Schranke 0 (leere Menge), die zweite ist $0+4\mu(A)-6\mu(A)=-2$ und somit kleiner als die erste.

Täusch ich mich, oder hast du bei h=0 begonnen? Wenn ja, warum? Es soll ja laut Satz $1 \le h \le n$ gelten.

Für h=2 bekomm ich -2 und für h=4 kommt 1 raus. Schade.


So 25-10-2009 20:07:00
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
the_who hat geschrieben:
Also ich hab da gezeigt, dass $P[\limsup_{n \to \infty} S_n \ge 0]=0$. Demnach sind nur endlich viele $S_n \ge 0$ und $S_n$ "fast immer" negativ.


Genau so weit bin ich auch gekommen. Das Problem ist nur, dass aus P(X)=0 für ein Ereignis X nicht folgt, dass X unmöglich ist. Z.B. wäre bei einer stetigen Gleichverteilung auf [0,1] auch P({x})=0 für $\forall x \in [0,1]$, aber dieses Ergeinis ist durchaus möglich.

the_who hat geschrieben:

Täusch ich mich, oder hast du bei h=0 begonnen? Wenn ja, warum? Es soll ja laut Satz $1 \le h \le n$ gelten.

Für h=2 bekomm ich -2 und für h=4 kommt 1 raus. Schade.


Ja, ich habe bei h=0 begonnen. Danke für den Hinweis, ich habe den Satz im Skriptum nicht gelesen. Aber es ändert nichts am Prinzip der Sache, ich muss n einfach nur größer wählen. Die Idee ist ja, das Kleinerwerden der Mengen (mehr Durchschnitte) durch das Anwachsen der Kombinationsmöglichkeiten zu kompensieren. Und die Mengen werden durch Durchschnittbildung am wenigsten kleiner, wenn man sie gleichsetzt.

Also n=6 (wieder das selbe Spiel mit 6 gleichen Mengen mit Maß 1):
6, (h=1)
-9, 11, (h=2,3)
-4, 2, (h=4,5)
1 (h=6).

Diesmal erhält man, wenn h die ungeraden Zahlen zw. 1 und 6 durchläuft, die nicht-monotonen Schranken 6,11,2.


Mo 26-10-2009 08:05:43
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
Seltsam, ich hab das gestern auch noch mit n=6 probiert, und bin auf was ganz anderes gekommen :wink:

Hatte mich da aber eher auf die geraden konzentriert... müsste so passen!


Mo 26-10-2009 11:36:21
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
Sorry, ich bin doch noch immer nicht zufrieden: Da µ laut Satz ja ein Inhalt sein muss, müsste µ additiv sein - was bei deiner Definition aber nicht der Fall ist.


Mo 26-10-2009 11:51:33
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
the_who hat geschrieben:
Seltsam, ich hab das gestern auch noch mit n=6 probiert, und bin auf was ganz anderes gekommen :wink:

Hatte mich da aber eher auf die geraden konzentriert... müsste so passen!


Ja, mit den geraden funktioniert es für n=6 noch nicht. Für hinreichend großes n sollte es aber klappen.


the_who hat geschrieben:
Sorry, ich bin doch noch immer nicht zufrieden: Da µ laut Satz ja ein Inhalt sein muss, müsste µ additiv sein - was bei deiner Definition aber nicht der Fall ist.


Warum soll µ nicht additiv sein? Ich sage ja nicht, dass µ für jede beliebige Menge des Semirings (oder wo immer das Maß definiert ist) 1 ist, ich nehme nur eine bestimmte Menge (ungleich $\emptyset$) und ordne ihr das Maß 1 zu. Und diese Menge nenne ich dann eben $A_1=A_2=\ldots$. (Die $A_i$ sind also alles andere als disjunkt!)

Um ein konkretes Beispiel zu geben: Nimm für das Mengensystem und das Maß die in Bsp. 6 (Übung 3) definierten und für die $A_i$ eine Menge mit unendlicher Mächtigkeit.


Mo 26-10-2009 14:36:39
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
Danke, jetzt ist mir ein Licht aufgegangen. :idea:


Mo 26-10-2009 14:59:39
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
Sorry, falls ich mich manchmal etwas unverständlich ausdrücke...


Mo 26-10-2009 15:26:31
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
Da the_who in seiner Allwissenheit (von Mächtigkeit = Aleph_null) leider nicht genug Gnade besaß, uns auch das 5. Beispiel zur Verfügung zur stellen, möchte ich mich in die Bresche werfen:

Also dass das mü ein äußeres Maß ist, sollte allein schon aus 4. folgen für f=d^m . Ansonsten kann man ganz leicht die Kriterien zeigen.
Zu b) sup mü = lim epsilon gegen 0... Das einzige was jetzt noch gezeigt werden muss, dass die Eigenschaften erhalten bleiben - vlt hat jemand eine Idee?

_________________
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Mo 26-10-2009 21:23:15
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Beitrag Re: WS09: 3. Übung
@c.sagmeister: Danke, der 1. Teil des Bsp. ist mir auch klar, beim 2. hab ich bis jetzt leider nicht wirklich einen Plan.

EDIT: Habs schon, dank Kreumelitos, ich hab mal wieder viel zu kompliziert gedacht :lol:


Mo 26-10-2009 22:00:22
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