'Offensichtlich' ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.
Eric Temple Bell


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WS09: 2. Übung 
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Beitrag WS09: 2. Übung
Hallo, ich mal wieder :wink:

Kann es sein, dass ich blind bin, aber hab noch kein einziges Bsp. im Netz gefunden.

Bräuchte noch 2 und 5. Kann da jemand behilflich sein?

(Ich hät mir eingebildet, letzte Woche das 2er wo gesehen zu haben, aber ich finds nimmer^^)

lg


Sa 17-10-2009 15:36:24
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Beitrag Re: WS09: 2. Übung
Noch was, ich bin sehr unschlüssig, ob mein 2er korrekt ist, weil das kommt mir so viel zu einfach vor:

Zunächst mal b) Ich beweise die Kontraposition, also $\bigcup_{i=1}^n C_i \subset A \; \; \forall \, C_1, \dots, C_n \; | \; C_i \in \mathfrak{C} \Rightarrow A \notin \mathfrak{R}(\mathfrak{C})$.

Hoff das ist mal soweit okay. Nun ist ja $\mathfrak{P}(\mathfrak{C}) = \{ \bigcup C_i \; | \; C_i \in \mathfrak{C} \}$ und da $A$ echte Obermenge all dieser Vereinigungen ist, muss $A \notin \mathfrak{P}(\mathfrak{C})$ gelten.

Wegen $\mathfrak{C} \subseteq \mathfrak{P}(\mathfrak{C})$ folgt aufgrund der Ring-Eigenschaft der Potenzmenge $\mathfrak{R}(\mathfrak{C}) \subseteq \mathfrak{P}(\mathfrak{C})$ und somit $A \notin \mathfrak{R}(\mathfrak{C})$.

a) müsste dann eigtl genauso gehen. Zumindest hab ich nichts gefunden, wo die Abzählbarkeit stören würde.


Sa 17-10-2009 16:58:05
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Beitrag Re: WS09: 2. Übung
Bist du dir sicher, dass die Potenzmenge eines Mengensystems die von dir angegebene Gestalt hat?
Nehmen wir Beispielsweise C = {{a},{b}}, so ist doch die Potenzmenge {0,{a},{b}, {{a},{b}}} (0 stehe stellvertretend für die leere Menge) und das letzte element lässt sich nicht als vereinigung der elemente von C schreiben!


Sa 17-10-2009 21:08:09
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Beitrag Re: WS09: 2. Übung
Ja, wenn man C als Mengesystem auffasst, hast du wohl recht. Dann muss ich mir doch was andres einfalln lassen :-(


Sa 17-10-2009 21:31:11
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Beitrag Re: WS09: 2. Übung
und die negation von $\subseteq$ ist $\not\subseteq$ nicht $\supset$.


So 18-10-2009 12:28:29
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Beitrag Re: WS09: 2. Übung
Der Ansatz: "das Prinzip der guten Menge", d.h. ich erfinde ein Mengensystem mit den gewünschten Eigenschaften (für alle B in Omega gibt es eine Folge die Element des Erzeugers C ist und B ist Teilmenge der Vereinigung aller Folgenglieder)
Dann zeige ich dass M ein Sigma-Ring der C umfasst ist ==> M ist Übermenge unseres von C erzeugten Sigma-Ringes

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So 18-10-2009 15:50:04
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Beitrag Re: WS09: 2. Übung
Super danke, denke ich habs jetzt :wink:


Mo 19-10-2009 18:44:21
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Beitrag Re: WS09: 2. Übung
Hier ist noch das Bsp. 5, falls das jemand braucht:

Als erstes nummeriere man die rationalen Zahlen aus [0,1] mittels Q = {q1,q2,...} durch - das geht - die rationalen Zahlen sind abzählbar! Im nächsten Schritt möchte man nur die einelementigen Mengen {qi} mit dem gegebenen Mengensystem konstruieren. Dafür setze man einfach $\{q_i\}=\bigcap_{n=1}^{\infty} (q_i-1/n,q_i]$; diese Mengen müssen im Sigma-Ring enthalten sein (dieser muss gegen unendliche Durchschnitte stabil sein). Außerdem müssen auch alle abzählbaren Vereinigungen drinnen liegen -> der von H erzeugte Sigma-Ring ist gerade $\mathfrak{P}([0,1])$. Der letzte Schritt zur Sigma-Algebra ist dann nicht mehr so schwierig ... es fehlen nur mehr das gesamte Intervall und die Komplemente; die erhält man, indem man zur Potenzmenge $\{A\subset \mathbb{Q}\}$ die Menge $\{A^c\subset \mathbb{Q}\}$ hinzufügt.


Di 20-10-2009 20:21:02
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Beitrag Re: WS09: 2. Übung
Sry Kreumelitos bin mal wieder einer der langsamen!
Kreumelitos hat geschrieben:
der von H erzeugte Sigma-Ring ist gerade $\mathfrak{P}([0,1])$.

Meinst du damit die Potenzmenge von [0,1] (so ist das P zumindest im Skriptum definiert) und wenn ja, dann wäre das ja bereits eine Sigma-Algebra?

Kreumelitos hat geschrieben:
Der letzte Schritt zur Sigma-Algebra ist dann nicht mehr so schwierig ... es fehlen nur mehr das gesamte Intervall und die Komplemente; die erhält man, indem man zur Potenzmenge $\{A\subset \mathbb{Q}\}$ die Menge $\{A^c\subset \mathbb{Q}\}$ hinzufügt.

Bei einem Sigmaring reicht bereits das hinzufügen von $\Omega$ um eine Sigma-Algebra zu bekommen. Naja aber da ich oben schon ausgestiegen bin macht es auch keinen Sinn hier unten wieder einzusteigen...

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Di 20-10-2009 21:30:21
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Beitrag Re: WS09: 2. Übung
Oh, ich hab mich da ein wenig geirrt: richtig sollte es $\mathfrak{P}([0,1]\cap\mathbb{Q})$ heißen ... sonst wäre das tatsächlich bereits eine sigma-algebra. Das $\mathfrak{P}$ sollte - wie du es richtig aufgefasst hast - für die potenzmenge stehen.
Wenn man $\Omega$ zum Sigma-Ring dazufügt, muss man überprüfen und sicherstellen, dass die eigenschaften eines sigma-rings auch dann noch erfüllt sind ... und hier sind zb. die menge der irrationalen zahlen aus dem intervall [0,1] noch nicht drinnen. deshalb der letzte schritt


Di 20-10-2009 22:18:50
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