Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung,
den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?
Albert Einstein


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Konvergenzbeispiele 
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Beitrag Konvergenzbeispiele
27.1.1993, C.2.

$f_n = \frac 1 n \cdot \mathbb{I}_{[-n,n]}$

Grenzfunktion: $\lim_{n \to \infty} f_n = \lim_{n \to \infty} \frac 1 n \cdot \mathbb{I}_{[-n,n]} = 0 \cdot \mathbb{I}_{(-\infty,\infty)} = 0$
$\Rightarrow$ punktweise konvergent
$\Rightarrow$ $\mu$-fast überall konvergent
$\Rightarrow$ konvergent im $\mu$-Maß
Konvergenz im p-ten Mittel:
$\lim_{n \to \infty} (\int | \frac 1 n \cdot \mathbb{I}_{[-n,n]} |^p\,d\lambda)^{\frac 1 p} = \lim_{n \to \infty} (\int^n_{-n} \frac 1 {n^p}\,dx)^{\frac 1 p} = \lim_{n \to \infty} (\frac n {n^p} + \frac n {n^p})^{\frac 1 p} = 0$
$\Rightarrow$ eigentlich konvergent im $\mu$-Maß

Passt das so? Muss ich die fast gleichmäßige Konvergenz auch überprüfen?

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Zuletzt geändert von maria_ am Fr 17-04-2009 19:21:31, insgesamt 2-mal geändert.



Fr 17-04-2009 13:04:32
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Beitrag Re: Konvergenzbeispiele
also bei dem beispiel hätt ich auch dasselbe wie du....ich hab die gleichmäßige nicht überprüft. haben wir aber in den übungen auch nie gemacht.


Fr 17-04-2009 13:19:08
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Beitrag Re: Konvergenzbeispiele
31.3.1993, C.1.

$f_n = 2^n \cdot \mathbb{I}_{(0,\frac 1 n]}$

Hier scheitere ich schon bei der Bestimmung der Grenzfunktion:
$\lim_{n \to \infty} f_n = \lim_{n \to \infty} 2^n \cdot \mathbb{I}_{(0,\frac 1 n]} = \infty \cdot \mathbb{I}_{\{0\}} $ ???
Ist die Grenzfunktion einfach 0? Wahrscheinlich...
Somit wäre diese Funktionenfolge auch punktweise, $\mu$-fast überall und im $\mu$-Maß konvergent.

Konvergenz im p-ten Mittel:
$ \lim_{n \to \infty} (\int|2^n \cdot \mathbb{I}_{(0,\frac 1 n]}|^p \,d\lambda)^{\frac 1 p} = \lim_{n \to \infty} (\int^{\frac 1 n}_0 2^{np} \,dx)^{\frac 1 p} =  \lim_{n \to \infty} (2^n \cdot \frac 1 {n^{\frac 1 p}})$ ??? L'Hospital bringt auch nichts...

eigentliche Konvergenz im $\mu$-Maß:
???

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Fr 17-04-2009 18:17:19
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Beitrag Re: Konvergenzbeispiele
maria_ hat geschrieben:
31.3.1993, C.1.

$f_n = 2^n \cdot \mathbb{I}_{(0,\frac 1 n]}$

Hier scheitere ich schon bei der Bestimmung der Grenzfunktion:
$\lim_{n \to \infty} f_n = \lim_{n \to \infty} 2^n \cdot \mathbb{I}_{(0,\frac 1 n]} = \infty \cdot \mathbb{I}_{\{0\}} $ ???
Ist die Grenzfunktion einfach 0? Wahrscheinlich...

bei Konvergenz immer zuerst punktweise ausrechnen, also in diesem Fall $\lim_{n\to\infty}f_n(x) = 0$ für x<= 0 ist klar, für x > 0 gibt es ein N sodass 1/n < x für n>N, damit die Folge für dieses x also schliesslich konstant 0. Insgesamt konvergiert die Folge also punktweise gegen die konstante Nullfunktion (das solltest du beim ersten Beispiel oben auch so machen). Konvergenz mu-fast-überall und im mu-Maß folgen also.

Zitat:
Somit wäre diese Funktionenfolge auch punktweise, $\mu$-fast überall und im $\mu$-Maß konvergent.
Konvergenz im p-ten Mittel:
$ \lim_{n \to \infty} (\int|2^n \cdot \mathbb{I}_{(0,\frac 1 n]}|^p \,d\lambda)^{\frac 1 p} = \lim_{n \to \infty} (\int^{\frac 1 n}_0 2^{np} \,dx)^{\frac 1 p} =  \lim_{n \to \infty} (2^n \cdot \frac 1 {n^{\frac 1 p}})$ ??? L'Hospital bringt auch nichts...


wenn ich nicht völlig falsch liege sollte das Wurzelkriterium greifen, wonach die Folge divergiert

Zitat:
eigentliche Konvergenz im $\mu$-Maß:
???


da ist nur zu zeigen, dass $\lim_{n\to \infty}\mu (|f_n - f|\geq \varepsilon) = 0$, was aber klar ist, weil f=0 und es damit auf die Folge 1/n hinauslauft.


Fr 17-04-2009 19:50:14
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Beitrag Re: Konvergenzbeispiele
Dankeschön Rasputin!!!

8.3.1995 bzw. 11.10.1995




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Sa 18-04-2009 12:32:37
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Beitrag Re: Konvergenzbeispiele
Ich würde nun in die Definition von $[\mu]$ konvergent einsetzen, also $\{x: \exists \lim_{n \to \infty} f_n(x)=f(x) \}^c \in \mathfrak{N}_\mu$ und ich würde sagen, $f_n \to 0$ für $x \in (-1,1)$, also das Maß der Menge, wo $f_n$ nicht konvergiert, ist $\mu(\{-1,1\})=0 \Rightarrow f_n \xrightarrow{[\mu]}f \Rightarrow f_n \xrightarrow{\mu}f$ und da $\mu(\Omega)=\mu([-1,1]=2 < \infty$ ist $\mu$ ein endliches Maß, somit folgt auch die eigentliche Konvergenz.

Zur Konvergenz in der p-Norm:
$\|f_n - f \|^p_p=\int_\Omega |x^n|^p \ d \mu=\frac{2}{np+1} \to 0$,also $f_n \xrightarrow{L_p}f$. Ob das auch für $p=\infty$ gilt, weiß ich leider nicht...

Stimmt das so?


Zuletzt geändert von paulbr am Sa 18-04-2009 13:56:52, insgesamt 1-mal geändert.



Sa 18-04-2009 13:25:37
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Beitrag Re: Konvergenzbeispiele
müh ist ein endliches Maß also gilts auch für p=00, soweit ich noch weiß


Sa 18-04-2009 13:45:06
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Beitrag Re: Konvergenzbeispiele
das gilt nur in die andere Richtung, die Folge konvergiert in $L_{\infty}$ auch nicht, da sie ebenfalls gegen die Nullfunktion (als Element von $L_{\infty}$) konvergieren müsste (weil ja die mu-f.ü. Konvergenz daraus folgt), es ist aber $\lim_{n\to\infty} \|f_n\|_{\infty} = \lim_{n\to\infty} 1 = 1$.


Sa 18-04-2009 14:11:59
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Beitrag Re: Konvergenzbeispiele
Danke danke danke!!!

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So 19-04-2009 13:23:49
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