Die Mathematik ist die Lehre von möglichen Beziehungen zwischen möglichen Dingen.
Reinhold Baer


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lineare Hülle, Basis 
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Beitrag lineare Hülle, Basis
Hallo!

Ich habe eine kurze und simple Frage.

Folgendes:

Ich bin gerade dabei mir verschiedenste Beispiele durchzusehen und bin dort vermehrt auf eine Aufgabe folgender Form gestoßen:

Im Vekorraum Vn sei ein Unterraum

Un:= [a] mit a= (x1, x2, x3 ... , xn) gegeben.

Bestimme Basis von Un.


Ich bin mehrfach die Definitionen durchgegangen und nun ist es so, dass eine lineare Hülle per Definition ein Erzeugendensystem ist. Weiters ist eine Basis ein linear unabhängiges Erz. Syst.

Mein Gedanke ist aber jetzt, dass ein einzelner Vektor und auch die vielfache dieses Vektors immer linear abhängig sein müssen, da ich ihn mittels linear Kombination eindeutig darstellen kann.

Folgt aus einem derartigen Beispiel also immer automatisch, dass Bn:=(a) gleich Basis von Un ist ?

(Das einzige was mich tatsächlich daran zweifeln lässt ist, dass ich diese Aufgabe schon oft so gesehen habe, auch in Prüfungsaufgaben, und ich mir denke, das kann doch nicht so einfach sein.)

Vielen Dank für die Hilfe

Lg. Jan


Sa 23-06-2018 15:08:30
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Beitrag Re: lineare Hülle, Basis
Du musst dir einfach die Dimensionen von [a] bzw. (a) ansehen und diesbezüglich ein bisschen argumentieren. Weiters kann es zB. sein dass die x1-xn nicht linear unabhängig sind und damit auch keine Basis darstellen.


Sa 23-06-2018 15:18:50
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Beitrag Re: lineare Hülle, Basis
Hallo Belko !

Erst mal vielen dank für die schnelle Antwort !

Ich sehe gerade ich habe es hier schlecht formuliert, denn die xi´s mit i aus {1, ... , n} sind in dem Fall keine Vektoren sondern Koeffizienten des einzelnen Vektors a.

Und ein einzelner Vektor ist ja eben immer linear unabhängig, also wäre die lineare Hülle vom Vektor a, welcher den Unterraum U aufspannt, auch immer gleich Basis vom Unterraum U.

Insofern ist auch die Dimension in so einem Fall immer = 1. (Abgesehen vom Nullvektorraum)

Oder meintest du etwas anderes, oder anders gefragt, fällt dir ein Gegenbeispiel ein bei dem ein Raum von nur einem Vektor aufgespannt wird und dieser eine Vektor nicht Basis von eben diesem Raum ist ?

Gruß, Jan


Sa 23-06-2018 15:39:09
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