God does not care about our mathematical difficulties - he integrates empirically.
Albert Einstein


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WS14: 4.6.10 
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Beitrag WS14: 4.6.10
Hallo,

Hier mal meine Lösung für 4.6.10 Alpha, habe alles mit WolframAlpha gegengepürft, sollte also passen.

Als Hinweiß
$Q_A \cdot A  \cdot P_A = Q_B \cdot B \cdot P_B$ \\ $ Q_B^{-1} \cdot  Q_A \cdot A  \cdot P_A =Q_B^{-1} \cdot Q_B \cdot B \cdot P_B$ \\
$ Q_B^{-1} \cdot  Q_A \cdot A  \cdot P_A \cdot P_B^{-1} =Q_B^{-1} \cdot Q_B \cdot B \cdot P_B \cdot P_B^{-1}$\\ \\
$ Q_B^{-1} \cdot  Q_A \cdot A  \cdot P_A \cdot P_B^{-1} = B $ \\
daraus folgt:  $ Q =   Q_B^{-1} \cdot  Q_A , \quad  P = P_A \cdot P_B^{-1} $

! WICHTIG !: Die Gleichung funktioniert NUR wenn beide Matrizen (A und B) den selben Rang haben.

Warum?? Antwort: Weil eigentlich überhalb der obersten Gleichungszeile folgendes steht:
\begin{tabular}{c  c } $E_{r_A}$ & 0 \\ 0 & 0 \end{tabular} = \begin{tabular}{c  c } $E_{r_B}$ & 0 \\ 0 & 0 \end{tabular}
In Worten: "Noramlform von A ist gleich Normalform von B"
und wie man sieht ist diese Gleichung nur dann war wenn: $r_A = r_B$ ist, also wenn beide den selben Rang haben.


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Zuletzt geändert von THE-ONE am Mi 07-01-2015 21:59:24, insgesamt 4-mal geändert.



Mi 03-12-2014 01:07:46
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Beitrag Re: WS14: 4.6.10
Nach der Übung weiß ich nun dass die Lösung so gemeint war:
Im allgemeinen einfach nur eine schneller Variante der Lösung von oben! Meine Lösung war zwar nicht falsch, aber auf dem Zettel ist diese aufwendiger, da man zusätzlich zu den beiden Umformungen (A auf die Normalform bringen, und B auf die Normalform bringen) noch einige Matrixmultiplikationen ausführen muss.

Mit dieser Variante hier erspart man sich diese zusätzlichen Multiplikationen.

Man startet wieder wie oben:

\begin{tabular}{c | c }
\\  
 & $E_{n}$ \\
\\
\hline  
\\
$E_{m}$ & $A = K^{m \times n} $ \\
\\
\end{tabular}

Nun formt man A auf die Normalform um, wobei man alle Spaltenumformungen auch auf En ausführt und alle Zeilenumformungen auch auf Em ausführt. (Man kann auch sagen: Man speichert sich die Umformungsschritte in zwei Matrizen ab)

Also auf folgende Darstellung:
\begin{tabular}{c | c }
\\  
 & $P_{A}$ \\
\\
\hline  
\\
$Q_{A}$ & \begin{tabular}{c  c } $E_{r}$ & 0 \\ 0 & 0 \end{tabular} \\
\\
\end{tabular}

Nun formt man aber gleich direkt die Normalform auf B um, und bekommt dann:
\begin{tabular}{c | c }
\\  
 & $P$ \\
\\
\hline  
\\
$Q$ & $B = K^{m \times n} $ \\
\\
\end{tabular}

Bitte beachten: Das ganze funktioniert eben NUR wenn beide Matrizen den selben Rang haben.


Sa 06-12-2014 13:54:13
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