Da ich heute mehrmals zu Bsp. 1.11.5 befragt wurde, möchte ich hier kurz erklären, was überhaupt zu tun ist:
a) Zuerst muss man sich vergewissern, dass
überhaupt eine (kommutative!) Gruppe ist. Das folgt jedoch direkt aus der Tatsache, dass
ein Körper ist. Als nächstes muss man sich überlegen, dass
,
und
tatsächlich Teilmengen von
sind. Das sollte jedoch auch klar sein. Als nächstes muss man zeigen, dass
,
und
tatsächlich Gruppen sind. Man muss jeweils nur die Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation und Inversion nachprüfen, da sich Assoziativität und neutrales Element aus der Teilmengeneigenschaft ergeben. Dass
eine Gruppe ist, kann man übrigens relativ leicht sehen, indem man zu Polarkoordinaten übergeht. Nachdem wir die Gruppeneigenschaften gezeigt haben, muss man nur noch argumentieren, warum die drei Untergruppen jeweils tatsächlich Normalteiler sind. Das ist jedoch einfach: Untergruppen
von kommutativen Gruppen
sind immer Normalteiler, weil wegen der Kommutativität immer
gilt.
b) Zunächst muss man sich überlegen, wie die Gruppe
aussieht. Man zeichnet also zunächst die Gruppe
in die Gaußsche Zahlenebene ein: Das ist dann der Einheitskreis, weil die Zahlen in
ja Betrag 1 haben. Man überlegt sich dann, wie die Nebenklassen von
aussehen: Diese sind wieder Kreise um den Mittelpunkt. Man kommt dann auf den Ansatz, mit einer Funktion
jenen Kreis auf seinen Radius abzubilden. Man muss dann nur noch nachrechnen, dass
bijektiv ist und dass
ein Homomorphismus ist, also dass
ist. Dadurch hat man dann gezeigt, dass die Untergruppe
zu
isomorph ist.
c) Geht analog zu b). Die Nebenklassen sind Strahlen durch den Ursprung. Die Idee ist, jede Nebenklasse durch ihren Schnittpunkt mit dem Einheitskreis festzulegen. Man zeigt, dass die Abbildung
, die das leistet, ein Isomorphismus ist.
d) Geht analog zu c). Die zu verwendende Abbildung
, die die Nebenklassen (Geraden (ohne Nullpunkt) durch den Ursprung) nach
abbildet, ist sogar schon im Hinweis angegeben. Man muss nur noch zeigen, dass
ein Isomorphismus ist.
Bemerkung: Das sind nur die Ideen zum Beispiel. Die behaupteten Eigenschaften müsst ihr natürlich selbst nachrechnen!