Da ich heute mehrmals zu Bsp. 1.11.5 befragt wurde, möchte ich hier kurz erklären, was überhaupt zu tun ist:

a) Zuerst muss man sich vergewissern, dass überhaupt eine (kommutative!) Gruppe ist. Das folgt jedoch direkt aus der Tatsache, dass ein Körper ist. Als nächstes muss man sich überlegen, dass , und tatsächlich Teilmengen von sind. Das sollte jedoch auch klar sein. Als nächstes muss man zeigen, dass , und tatsächlich Gruppen sind. Man muss jeweils nur die Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation und Inversion nachprüfen, da sich Assoziativität und neutrales Element aus der Teilmengeneigenschaft ergeben. Dass eine Gruppe ist, kann man übrigens relativ leicht sehen, indem man zu Polarkoordinaten übergeht. Nachdem wir die Gruppeneigenschaften gezeigt haben, muss man nur noch argumentieren, warum die drei Untergruppen jeweils tatsächlich Normalteiler sind. Das ist jedoch einfach: Untergruppen von kommutativen Gruppen sind immer Normalteiler, weil wegen der Kommutativität immer gilt.

b) Zunächst muss man sich überlegen, wie die Gruppe aussieht. Man zeichnet also zunächst die Gruppe in die Gaußsche Zahlenebene ein: Das ist dann der Einheitskreis, weil die Zahlen in ja Betrag 1 haben. Man überlegt sich dann, wie die Nebenklassen von aussehen: Diese sind wieder Kreise um den Mittelpunkt. Man kommt dann auf den Ansatz, mit einer Funktion jenen Kreis auf seinen Radius abzubilden. Man muss dann nur noch nachrechnen, dass bijektiv ist und dass ein Homomorphismus ist, also dass ist. Dadurch hat man dann gezeigt, dass die Untergruppe zu isomorph ist.

c) Geht analog zu b). Die Nebenklassen sind Strahlen durch den Ursprung. Die Idee ist, jede Nebenklasse durch ihren Schnittpunkt mit dem Einheitskreis festzulegen. Man zeigt, dass die Abbildung , die das leistet, ein Isomorphismus ist.

d) Geht analog zu c). Die zu verwendende Abbildung , die die Nebenklassen (Geraden (ohne Nullpunkt) durch den Ursprung) nach abbildet, ist sogar schon im Hinweis angegeben. Man muss nur noch zeigen, dass ein Isomorphismus ist.

Bemerkung: Das sind nur die Ideen zum Beispiel. Die behaupteten Eigenschaften müsst ihr natürlich selbst nachrechnen!