Unter allen menschlichen Entdeckungen sollte die Entdeckung der Fehler die wichtigste sein.
St. J. Lec


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A 1.11.5 
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Beitrag A 1.11.5
Da ich heute mehrmals zu Bsp. 1.11.5 befragt wurde, möchte ich hier kurz erklären, was überhaupt zu tun ist:

a) Zuerst muss man sich vergewissern, dass $(\mathbb{C}^\times,\cdot)$ überhaupt eine (kommutative!) Gruppe ist. Das folgt jedoch direkt aus der Tatsache, dass $\mathbb{C}$ ein Körper ist. Als nächstes muss man sich überlegen, dass $U$, $\mathbb{R}^+$ und $\mathbb{R}^\times$ tatsächlich Teilmengen von $\mathbb{C}^\times$ sind. Das sollte jedoch auch klar sein. Als nächstes muss man zeigen, dass $U$, $\mathbb{R}^+$ und $\mathbb{R}^\times$ tatsächlich Gruppen sind. Man muss jeweils nur die Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation und Inversion nachprüfen, da sich Assoziativität und neutrales Element aus der Teilmengeneigenschaft ergeben. Dass $U$ eine Gruppe ist, kann man übrigens relativ leicht sehen, indem man zu Polarkoordinaten übergeht. Nachdem wir die Gruppeneigenschaften gezeigt haben, muss man nur noch argumentieren, warum die drei Untergruppen jeweils tatsächlich Normalteiler sind. Das ist jedoch einfach: Untergruppen $H$ von kommutativen Gruppen $G$ sind immer Normalteiler, weil wegen der Kommutativität immer $\forall a\in G:a\cdot H=H\cdot a$ gilt.

b) Zunächst muss man sich überlegen, wie die Gruppe $\mathbb{C}^\times/U$ aussieht. Man zeichnet also zunächst die Gruppe $U$ in die Gaußsche Zahlenebene ein: Das ist dann der Einheitskreis, weil die Zahlen in $U$ ja Betrag 1 haben. Man überlegt sich dann, wie die Nebenklassen von $U$ aussehen: Diese sind wieder Kreise um den Mittelpunkt. Man kommt dann auf den Ansatz, mit einer Funktion $\phi_b:\mathbb{C}^\times/U\to \mathbb{R}^+$ jenen Kreis auf seinen Radius abzubilden. Man muss dann nur noch nachrechnen, dass $\phi_b$ bijektiv ist und dass $\phi_b$ ein Homomorphismus ist, also dass $\phi_b(a\cdot b)=\phi_b(a)\cdot\phi_b(b)$ ist. Dadurch hat man dann gezeigt, dass die Untergruppe $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ zu $(\mathbb{C}^\times/U,\cdot)$ isomorph ist.

c) Geht analog zu b). Die Nebenklassen sind Strahlen durch den Ursprung. Die Idee ist, jede Nebenklasse durch ihren Schnittpunkt mit dem Einheitskreis festzulegen. Man zeigt, dass die Abbildung $\phi_c:\mathbb{C}^\times/\mathbb{R}^+\to U$, die das leistet, ein Isomorphismus ist.

d) Geht analog zu c). Die zu verwendende Abbildung $\phi_d:\mathbb{C}^\times/\mathbb{R}^\times\to U$, die die Nebenklassen (Geraden (ohne Nullpunkt) durch den Ursprung) nach $U$ abbildet, ist sogar schon im Hinweis angegeben. Man muss nur noch zeigen, dass $\phi_d$ ein Isomorphismus ist.

Bemerkung: Das sind nur die Ideen zum Beispiel. Die behaupteten Eigenschaften müsst ihr natürlich selbst nachrechnen!


Di 18-12-2012 22:31:52
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