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Dean Schlicter


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affin abhängig 
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Beitrag affin abhängig
hallo!

ich hab mal ne frage, kann mir wer erklären warum die summe der skalare 1 ergeben muss damit eine familie von affinen punkten affin abhängig ist? also punkt 6.2.5 auf seite 147 im buch...


Mi 09-02-2011 16:27:59
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Beitrag Re: affin abhängig
Sei W ein Vektorraum, $v_0,\ldots,v_n\in W$. Die Punkte $v_0,\ldots,v_n$ heißen affine Basis von eines affinen Raums $A\subseteq W$, genau dann, wenn die Vektoren $v_1-v_0,\ldots,v_n-v_0$ eine Basis eines Untervektorraums V von W bilden.

Zeigen wollen wir, dass wir jeden Punkt $v\in A$ darstellen können als $v=\sum_{i=0}^n\lambda_i v_i$, dass dann die $\lambda_i$ eindeutig bestimmt sind und dass $\sum_{i=0}^n \lambda_i = 1$. Wir wissen, dass A die Form $A=p+V$ mit beliebigem $p\in A$ hat. Insbesondere kann man ein $v\in A$ darstellen als $v=p+x$ mit $x\in V$

Man weiß über Vektorraume, dass man bei gegebener Basis zu jedem Vektor eindeutige Koordinaten findet. Sei jetzt $x\in V$. Dann kann man $x$ darstellen als $x=\sum_{i=1}^n\lambda_i (v_i - v_0)$ mit eindeutigen $\lambda_i$. Umformen ergibt:
$x=\sum_{i=1}^n\lambda_i v_i - v_0\sum_{i=1}^n\lambda_i$
$x=\sum_{i=1}^n\lambda_i v_i +\lambda_0 v_0 - \lambda_0 v_0 - v_0\sum_{i=1}^n\lambda_i$
$x=\sum_{i=0}^n\lambda_i v_i - v_0\sum_{i=0}^n\lambda_i$
$x + v_0\sum_{i=0}^n\lambda_i=\sum_{i=0}^n\lambda_i v_i$

Da wir $v$ in der Form $v=p+x$ darstellen wollen, muss gelten, dass
$p = v_0\sum_{i=0}^n\lambda_i$
$p$ muss in A sein. Wir wissen, dass $v_0\in A$, d.h. $\sum_{i=0}^n\lambda_i = 1$ ist eine zulässige Lösung. Wir wollen zeigen, dass das die einzig mögliche Lösung ist. Es gilt $p\in W$. Sei $m:=dim(W)$. Wir wissen, dass wir Vektoren $x_2,\ldots,x_m\in W$ finden können, sodass $v_0,x_2,\ldots,x_m$ eine Basis von W bildet. Bezüglich dieser Basis hat der Punkt $p$ die Koordinaten $(\sum_{i=0}^n\lambda_i,0,\ldots,0)$. Aufgrund der Eindeutigkeit der Koordinatendarstellung in Vektorräumen ergibt sich, dass $\sum_{i=0}^n\lambda_i = 1$ tatsächlich die einzig mögliche Lösung ist.


Do 10-02-2011 09:26:33
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Beitrag Re: affin abhängig
haaaaaaaaalleluja! ich glaub da hans hat des ned so genau gmacht! sehr nice! vielen dank, jetzt ist mir das klar!!!!


Do 10-02-2011 11:52:53
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