Sei W ein Vektorraum,
. Die Punkte
heißen affine Basis von eines affinen Raums
, genau dann, wenn die Vektoren
eine Basis eines Untervektorraums V von W bilden.
Zeigen wollen wir, dass wir jeden Punkt
darstellen können als
, dass dann die
eindeutig bestimmt sind und dass
. Wir wissen, dass A die Form
mit beliebigem
hat. Insbesondere kann man ein
darstellen als
mit
Man weiß über Vektorraume, dass man bei gegebener Basis zu jedem Vektor eindeutige Koordinaten findet. Sei jetzt
. Dann kann man
darstellen als
mit eindeutigen
. Umformen ergibt:
Da wir
in der Form
darstellen wollen, muss gelten, dass
muss in A sein. Wir wissen, dass
, d.h.
ist eine zulässige Lösung. Wir wollen zeigen, dass das die einzig mögliche Lösung ist. Es gilt
. Sei
. Wir wissen, dass wir Vektoren
finden können, sodass
eine Basis von W bildet. Bezüglich dieser Basis hat der Punkt
die Koordinaten
. Aufgrund der Eindeutigkeit der Koordinatendarstellung in Vektorräumen ergibt sich, dass
tatsächlich die einzig mögliche Lösung ist.