Very little mathematics has direct applications - though fortunately most of it has plenty of indirect ones.
Gian-Carlo Rota


Auf das Thema antworten  [ 3 Beiträge ] 
A 5.2.1 
Autor Nachricht

Registriert: 07/2010
Beiträge: 25 + 1
Mit Zitat antworten
Beitrag A 5.2.1
Beweise: V und W sind semilinear isomorph genau dann wenn sie linaer isomorph sind!

"<==" linear = IDk semilinear also Zeta = IDk. ist sicher richtig oder?
"==>" nehme Zeta = IDk und kann daher sagen linear isomorph. Darf ich das annehmen ?


Do 16-12-2010 21:41:14
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2010
Beiträge: 24 + 2
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: A 5.2.1
ich denke du sollst nur die eine richtung zeigen (<==), da die andere richtung gilt nicht für zeta ungleich idk.


Do 16-12-2010 23:07:02
Diesen Beitrag melden
Profil
Benutzeravatar

Registriert: 10/2007
Beiträge: 29 + 110
Wohnort: 1040
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: A 5.2.1
cimo hat geschrieben:
Beweise: V und W sind semilinear isomorph genau dann wenn sie linaer isomorph sind!

"<==" linear = IDk semilinear also Zeta = IDk. ist sicher richtig oder?
"==>" nehme Zeta = IDk und kann daher sagen linear isomorph. Darf ich das annehmen ?


"<==" passt


"==>" nein, kannst du natürlich nicht..
du weißt, dass V und W semilinear isom. sind, mit anderen worten: dass es ein f : V -> W gibt welches bijektiv und semilinear ist. f muss aber keineswegs linear sein!

man kanns so machen:

sei (bi) eine basis von V, und sei y in W beliebig.
da f bijektiv ist, gibt es genau ein x in V mit f(x) = y.
x lässt sich eindeutig darstellen in der form $x = \sum x_i b_i$.

daraus folgt, dass man y schreiben kann als

$y = f(\sum x_i b_i) = \sum \zeta(x_i) f(b_i)$

und dass diese darstellung eindeutig ist! (d.h. die koeffizienten zeta(xi) sind durch y eindeutig bestimmt - denn zeta ist ja auch bijektiv).
wir sehen also, dass (f(bi)) eine basis von W bildet.

laut fortsetzungssatz gibt es eine LINEARE abbildung g mit
$g(b_i) = f(b_i) \ \forall i$

laut satz 3.2.5 ist g bijektiv.
also ist g ein linearer isomorphismus zwischen V und W.

lg gregor


Sa 18-12-2010 23:48:33
Diesen Beitrag melden
Profil
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:  Sortiere nach  
Auf das Thema antworten   [ 3 Beiträge ] 


Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 7 Gäste


Du darfst neue Themen in diesem Forum erstellen.
Du darfst Antworten zu Themen in diesem Forum erstellen.
Du darfst deine Beiträge in diesem Forum nicht ändern.
Du darfst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du darfst keine Dateianhänge in diesem Forum erstellen.

Suche nach:
Gehe zu:  
Powered by phpBB © phpBB Group.  |  Designed by STSoftware for PTF  |  © Czechnology 2007 - 2021  |  Deutsche Übersetzung durch phpBB.de