Elin
Registriert: 10/2009 Beiträge: 27 + 102
Studium: Master Technische Mathematik
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WS09: A 7.3.3
Hallo Leute! Ich brauch bitte ein bissl Verständnis-Hilfe in Form von was muss ich WARUM tun... Gegeben ist eine Basis B mit b1 = (3,2,1)T, b2 = (2,2,1)T und b3 = (1,1,1)T; sowie eine Abb. f die b1 in b2 in b3 in b1 überführt. Gesucht sind <E*, f(E)> und <E*,f^3(E)>, sowie deren Determinanten.
Die Determinanten sind kein Problem. Zum Rest: Mein Ansatz war nimm die Matrix B, wende f darauf an. Das ergibt mir dann (?) <B*,f(B)>, dann muss ich es invertieren und erhalte <E*,f(E)> ?? oder muss ich f nochmal anwenden? Und f^3 entspricht ja der Identität, weil b1 wieder in b1 übergeht usw.
Irgendwelche Denkfehler oder stimmt das so? Danke schön!
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Gregor
Registriert: 10/2007 Beiträge: 29 + 110 Wohnort: 1040
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Re: WS09: A 7.3.3
also die matrix <B*,f(B)> wäre (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) weil <B*,f(b1)> = <B*,b2> = (0 1 0)T usw. und in den spalten von <B*,f(B)> stehen ja die <B*,f(bj)>, j=1,2,3.
durch die angabe kennen wir auch die matrix <E*,f(B)> = ( <E*,f(b1)> , <E*,f(b2)> , <E*,f(b3)> ) = ( <E*,b2> , <E*,b3> , <E*,b1> ) = ( b2, b3, b1 ) = (2 1 3) (2 1 2) (1 1 1)
das ist also f auf B angewandt. da wir uns in R^3 befinden, kann man ja f als matrix A auffassen und auch schreiben <E*,f(B)> = f(B) = AB und <E*,f(E)> = f(E) = AE = A = (AB)B^-1.
du musst also f(B) von links mit B^-1 multiplizieren, um <E*,f(E)> zu bekommen. das machst du am besten, in dem du B und f(B) untereinander aufschreibst
(3 2 1) (2 2 1) (1 1 1) ------- (2 1 3) (2 1 2) (1 1 1)
und jetzt die obere matrix B spalten-umformst, bis die einheitsmatrix dasteht (das ist nämlich äquivalent zu B^-1 von links anwenden), wobei du f(B) immer mitumformst. das was unten dann steht ist <E*,f(E)> bzw. A.
f^3 ist die identät, genau. da f^3(B) = B für eine basis B gilt, muss nach dem fortsetzungssatz f^3 = id sein.
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