Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.
Carl Friedrich Gauß


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WS09: A 7.3.3 
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Beitrag WS09: A 7.3.3
Hallo Leute!
Ich brauch bitte ein bissl Verständnis-Hilfe in Form von was muss ich WARUM tun...
Gegeben ist eine Basis B mit b1 = (3,2,1)T, b2 = (2,2,1)T und b3 = (1,1,1)T; sowie eine Abb. f die b1 in b2 in b3 in b1 überführt.
Gesucht sind <E*, f(E)> und <E*,f^3(E)>, sowie deren Determinanten.

Die Determinanten sind kein Problem.
Zum Rest: Mein Ansatz war nimm die Matrix B, wende f darauf an. Das ergibt mir dann (?) <B*,f(B)>, dann muss ich es invertieren und erhalte <E*,f(E)> ?? oder muss ich f nochmal anwenden?
Und f^3 entspricht ja der Identität, weil b1 wieder in b1 übergeht usw.

Irgendwelche Denkfehler oder stimmt das so?
Danke schön!


Mo 25-01-2010 12:49:46
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Beitrag Re: WS09: A 7.3.3
also die matrix <B*,f(B)> wäre
(0 0 1)
(1 0 0)
(0 1 0)
weil <B*,f(b1)> = <B*,b2> = (0 1 0)T usw.
und in den spalten von <B*,f(B)> stehen ja die <B*,f(bj)>, j=1,2,3.

durch die angabe kennen wir auch die matrix <E*,f(B)> =
( <E*,f(b1)> , <E*,f(b2)> , <E*,f(b3)> ) =
( <E*,b2> , <E*,b3> , <E*,b1> ) =
( b2, b3, b1 ) =
(2 1 3)
(2 1 2)
(1 1 1)

das ist also f auf B angewandt. da wir uns in R^3 befinden, kann man ja f als matrix A auffassen und auch schreiben
<E*,f(B)> = f(B) = AB
und <E*,f(E)> = f(E) = AE = A = (AB)B^-1.

du musst also f(B) von links mit B^-1 multiplizieren, um <E*,f(E)> zu bekommen. das machst du am besten, in dem du B und f(B) untereinander aufschreibst

(3 2 1)
(2 2 1)
(1 1 1)
-------
(2 1 3)
(2 1 2)
(1 1 1)

und jetzt die obere matrix B spalten-umformst, bis die einheitsmatrix dasteht (das ist nämlich äquivalent zu B^-1 von links anwenden), wobei du f(B) immer mitumformst. das was unten dann steht ist <E*,f(E)> bzw. A.

f^3 ist die identät, genau. da f^3(B) = B für eine basis B gilt, muss nach dem fortsetzungssatz f^3 = id sein.


Mo 25-01-2010 14:33:46
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Beitrag Re: WS09: A 7.3.3
wow es macht sinn^^
danke schön, jetzt hab ich das endlich verstanden!


Mo 25-01-2010 14:56:15
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