heute ist der Geburtstag von
Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


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Grenzwert Konvergenz BSP. 
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Beitrag Grenzwert Konvergenz BSP.
hallo

ich sitz grad vor meinen analysis beispielen und hab bei einem davon einen hänger.

das die gegebene folge konvergent ist, sowie den grenzwert hab ich schon bestimmt,.

nun war "n" zu berechnen.

es handelt sich um diese Folge:

l X - ((4n^2 +n) / (4n^2 + n - 4)) l < e (epsilon)

der grenzwert x ist in diesem fall 4.
nun soll ich 4 einsetzen und n berechnen. aber irgendwie komm ich nach dem "gleinen nenner bringen" einfach nicht mehr weiter. ich kann einfach nicht kürzen.


kann mir vielleicht jemand weiter helfen?

danke im voraus

fe11x


So 30-10-2011 19:32:50
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Beitrag Re: Grenzwert Konvergenz BSP.
hallo
der GW ist nicht 4 sondern 1. vl hiflt das ja weiter;)


So 30-10-2011 20:09:54
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Beitrag Re: Grenzwert Konvergenz BSP.
oh ja das hilft mir sehr :)

danke für den hinweis auf meinen fehler :)

grüße


Mo 31-10-2011 08:33:28
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Beitrag Re: Grenzwert Konvergenz BSP.
jetzt muss ich nochmals meldung machen:

in meinem zähler kürzt sich jetzt zwar fast alles weg, aber irgendwie kann ich "n" trotzdem nicht ausdrücken. kann es sein, das in diesem fall einfach nichts gscheites raus kommt?


Mo 31-10-2011 08:57:43
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Beitrag 
In der Schule lernt man ja die Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Versuchs mal damit :wink:

Bei mir kommt dann heraus (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
$n>\frac{\sqrt{65\epsilon^2+64\epsilon}-\epsilon}{8\epsilon}$
Das ist durchaus sinnvoll. Für $\epsilon=0{,}001$ ergibt sich beispielsweise $n\geq 32$ und für $\epsilon=0{,}0001$ ergibt sich $n\geq 100$.


Mo 31-10-2011 13:00:35
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Beitrag Re: Grenzwert Konvergenz BSP.
ich komm und komm einfach nicht auf deine lösung. wie formst du da um wenn ich fragen darf?

grüße
felix


Mi 02-11-2011 13:59:11
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Beitrag Re: Grenzwert Konvergenz BSP.
$\left| 1 - \frac{4n^2 +n}{4n^2 + n - 4} \right| < \epsilon$
formt man um in
$\left| \frac{-4}{4n^2 + n - 4} \right| < \epsilon$
was man wiederum umformt in
$\left| \frac{-1}{n^2 + \frac{1}{4}n - 1} \right| < \epsilon$
Unter der sinnvollen Annahme, dass $n$ größer als null ist, können wir die Betragsstriche weglassen und kommen auf
$\frac{1}{n^2 + \frac{1}{4}n - 1} < \epsilon$
was umgeformt werden kann zu
$\frac{1}{\epsilon } < n^2 + \frac{1}{4}n - 1$
und weiter zu
$n^2 + \frac{1}{4}n - (1 + \frac{1}{\epsilon }) > 0$
Man betrachtet daher die Gleichung
$n^2 + \frac{1}{4}n - (1 + \frac{1}{\epsilon }) = 0$
und löst diese mit der kleinen Lösungsformel:
$n = -\frac{1}{8} (+/-) \sqrt{\frac{1}{64} + 1 + \frac{1}{\epsilon } }$
(sorry für das komische (+/-), aber das Forum kennt den Befehl \pm anscheinend nicht...)
Da $n$ positiv ist, ist die einzige verbleibende Lösung
$n = -\frac{1}{8} + \sqrt{\frac{1}{64} + 1 + \frac{1}{\epsilon } }$
Die zugehörige Ungleichung ist dann
$n > -\frac{1}{8} + \sqrt{\frac{1}{64} + 1 + \frac{1}{\epsilon } }$


Zuletzt geändert von andreas am So 06-11-2011 16:09:21, insgesamt 1-mal geändert.



Mi 02-11-2011 16:45:28
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Beitrag 
das n auf der rechten seite von der gleichung ghört aber nimmer hin, oder?


So 06-11-2011 02:15:05
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Beitrag Re: Grenzwert Konvergenz BSP.
denk auch ned


So 06-11-2011 04:47:27
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Beitrag Re: Grenzwert Konvergenz BSP.
Nope, das gehört weg. Dann ist alles richtig.


So 06-11-2011 09:49:32
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Beitrag 
Da habt ihr natürlich recht. Sorry für den Fehler. Habs ausgebessert.


So 06-11-2011 16:10:27
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