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Übung 8 Bsp 62 
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Beitrag Übung 8 Bsp 62
Hallo.
Ich hänge ein bisschen bei dem bsp..
zeilen und spaltensummen kann ich berechnen und komme dann darauf, dass die summe aller zeilensummen, genau wie die summe aller spaltensummen, fast genau der harmonischen reihe entspricht.

Aber wie kann ich jetzt daraus (und mit bsp 61) einen weiteren beweis der divergenz der harmon. reihe basteln?


Zuletzt geändert von athanex am Di 07-12-2010 17:49:08, insgesamt 1-mal geändert.



Mo 06-12-2010 17:48:07
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Beitrag Re: Übung 8 Bsp 62
Hallo,

Ich habe die Summen:
$S:=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+1}$ ...Summe der Spaltensummen
$Z:=\sum_{k=1}^{\infty}$$\sum_{j=k}^{\infty}\frac{1}{j*(j+1)}$ ...Summe der Zeilensummen

Wenn man zeigt, dass die beiden Summen ungleich sind, kann man doch aus 61 schließen, dass die Reihen divergieren.
Ist der Gedanke richtig bzw. wie kann ich es zeigen? Habe Probleme mit der doppelten Summe.

lg
Christoph


Mo 06-12-2010 21:22:54
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Beitrag Re: Übung 8 Bsp 62
Ich glaub es geht mit der Kontraposition von 61:

Wenn beide Summen nicht gleich sind, divergiert die Summe der Zeilensummen, oder die Summe der Spaltensummen.

Die Summen sind ja nicht gleich, da die harmonische Reihe einmal bei 1 und einmal bei 1/2 beginnt, d.h. mind. eine von beiden muss divergieren.

lg hacki

EDIT: Sehr peinlich, nehme alles zurück, sie sind ja doch gleich (unendlich)...


Mo 06-12-2010 22:02:55
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Beitrag Re: Übung 8 Bsp 62
winterc hat geschrieben:
Ist der Gedanke richtig bzw. wie kann ich es zeigen? Habe Probleme mit der doppelten Summe.

http://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme
bei den beispielen findest genau die summe


Mo 06-12-2010 22:17:23
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Beitrag Re: Übung 8 Bsp 62
ok danke.

Eigentlich muss man da ja vorher die Summen bis n und m laufen lassen.

$Z:=\sum_{k=1}^{n}$$\sum_{j=k}^{m}\frac{1}{j*(j+1)}$

Dann kann man auflösen und erhält:

$Z:=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{m+1}$

$S:=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}$

Wenn man die beiden vergleicht, kommt heraus, dass sie gleich sind, wenn m=n.

Bringt mir das was? Und wie führ ich das zurück auf Summe bis unendlich?

lg


Mo 06-12-2010 23:23:03
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Beitrag Re: Übung 8 Bsp 62
nimm an dass die harmonische reihe konvergiert. dann müssen ja auch S und Z konvergieren, und du kannst problemlos m und n gegen unendlich laufen lassen.

du erhältst dann 1 + S = Z.
laut bsp. 61 muss aber S = Z gelten!

ein offensichtlicher widerspruch. folglich divergiert die harmonische reihe.


Di 07-12-2010 00:33:46
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