heute ist der Geburtstag von
Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


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SS 2012 - Uebung 1 
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Beitrag SS 2012 - Uebung 1
Macht hier irgendwer die Übung dieses Semester? :) Hab grad gesehn, dass Blatt 1 schon verfügbar ist.

Bsp: 1,2,3,4 hab ich wenns wer braucht (Bsp 3 fehlt mir die zwei Zusatzfragen "wieso?" und "was folgt?")

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"I'm reading the paper; sitting around; I'm chatting; going for walks. But all of this is just perception. I'm actually working or rather: something is spinning around in my head and I'm just waiting to grab it and form it."
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Zuletzt geändert von Peter~ am Di 13-03-2012 12:44:11, insgesamt 1-mal geändert.



Do 08-03-2012 17:09:05
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ja das wär super, wenn du die schon hast? könntest du sie raufstellen?


So 11-03-2012 17:07:42
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Bsp 1 und 2 sind ja eher nur bissl überlegen, da hab ich nix aufgeschrieben bisher.

Bsp 3 (Stichwort Vandermonde-Matrix ;) )
Betrachte das Polynom: $$P(x):=(x-1)(x-2)\ldots(x-k) = x^k + \sum_{i=0}^{k-1} a_i x^i$$
Dazu können wir die folgende Matrix aufstellen:
$$\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \ldots & 0\\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
-a_0 & -a_1 & -a_2 & \ldots & -a_{k-1}
\end{pmatrix}$$
Die Eigenvektoren dieser Matrix sind gerade:
$$v_j=(1,j,j^2,\ldots,j^{k-1})^{\text T},\quad j\in\{1,2,\ldots,k\}$$, jeweils zum Eigenwert $$\lambda_j=j$$
Da die Eigenwerte verschieden sind, sind bestimmt auch die Eigenvektoren linear unabhängig. Fertig :)
Die Zusatsfrage:
Wenn ich mich nicht irre bekommen wir dadurch eine Eindeutige Lösung bei der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (z.B. über die Moore-Penrose Pseudoinverse). Muss ich nochmal nachlesen.

Bsp 4:
Betrachte einfach die Matrix:
$$X:=\begin{pmatrix}
x_1 - \overline X & x_2 - \overline X & \ldots & x_{p-2}  - \overline X& x_{p-1} - \overline X & x_p - \overline X \\
x_2 - \overline X & x_3 - \overline X & \ldots &  x_{p-1} - \overline X & x_{p} - \overline X & 0 \\
x_3 - \overline X & x_4 - \overline X & \ldots &  x_{p}  - \overline X & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
x_p-\overline X & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\hline
& & &Q
\end{pmatrix} \in \mathbb R^{(T+p)\times p}$$... Q ist dabei die Nullmatrix im $$\mathbb R^{T\times p}$$.

Hoffe ich hab mich nirgends verrechnet bzw vertippt, freu mich über jede Bestätigung und eventuell des letzte Beispiel.. war nicht in der Vorlesung, hab noch keine Ahnung was ich da machen soll :D

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So 11-03-2012 23:22:39
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Beitrag Re: SS 2012 - Uebung
ad 5) ich glaub dazu hat er nicht all zu viel in der vo gesagt (ich war aber auch nicht - also nur halbwissen;) )

er hat aber auf der tiss seite der übung den code eines R programms gestellt, das eigentlich alles macht was verlangt ist. aber es steht halt auch dabei dass wir das nur als vorlage verwenden sollen. ich persönlich werd da einfach kleinigkeiten ändern und fertig (output etwas "verschönern" und eventuell die kommentare noch etwas genauer). recht viel mehr sollts nicht sein.

danke für die beiden beispiele


Mo 12-03-2012 09:11:57
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Glaub die Zusatzfrage zu Bsp 3 lässt sich so formal hinschreiben:
Die $$\beta_j$$ sind ja durch die Methode der kleinsten Fehlerquadrate bestimmt, d.h. wenn X die gegebene Matrix, b der Vektor der $$\beta_j$$ und x unsere gegebene Zeitreihe (d.h. $$x(t)=x_t$$) ist, dann gilt
$$\min_{y\in\mathbb R^{k}}\lVert Xy-x\rVert_2=\lVert Xb-x\rVert_2$$
wobei b durch $$b=X^+x$$ eindeutig bestimmt ist da X vollen Rang hat.
Mit $$X^+$$ bezeichne ich die Moore-Penrose-Pseudoinverse.

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Di 13-03-2012 12:43:30
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