Die Mathematik muss man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.
M. W. Lomonossow


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Modellierung part. DGL Prüfung Arnold WS15 
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Beitrag Modellierung part. DGL Prüfung Arnold WS15
Prüfungsfragen:

1) hyperbolische Erhaltungsgesetze
Wo können hier Probleme/Unstetigkeiten auftreten?
Weiter zu Riemann-Problem. Def. schwache Lösung und Entropiebedingung. Was sagt die Entropiebed. aus?
+Immer wieder Grafiken der Charakteristiken zeichnen

2) Inkompressible Euler-Gleichungen
Ink., Euler-Glgen für homogene Fluid ohne Einwirken äußerer Kräfte hinschreiben. Was beschreiben die Glgen? Wie viele Gleichungen/Variablen haben wir? Zusammenhang zwischen inkompressibe Strömung und div u=0.
Weiter zu den Wirbelgleichungen: Aufschreiben + Herleitung. Wie sieht die Rotation im R2/R3 aus? + A-priori-Abschätzung

3)Perona-Malik-Modell
Motivation und Gleichungen. Was passt mit dem Modell nicht? Warum wird es doch verwendet?(kurzfristige Kantenschärfung)

4) Dünnfilm-Gleichung
Herleitung und Motivation

Dauer: ~45min
Wie immer ein freundlicher Prüfer, der einen hohen Wert auf die physikalischen Hintergründe der Gleichungen und deren Motivation liegt.


Mo 15-02-2016 19:23:22
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Beitrag Re: Modellierung part. DGL Prüfung Arnold WS15
Hallo, hier mein Prüfungsbericht:

Dauer: 50 Minuten (war der letzte an dem Tag, da hat er sich dann mehr Zeit genommen=

Atmosphäre: wie immer sehr angenehm

Fragen:

1. Upwind - Verfahren
Skizze
Algorithmus (also Formel)
modifizierte Gleichung, wie erhält man diese (Abschneidefehler L_k)
Was heißt hier stabil, (Definition mit Beispiel)
CFL-Bedingung (aus D>=0...)
Welche Rollen spielen die Charakteristiken bei der Stabilität (Interpolation extrapolation)
Äquivalenzsatz von Lax
Ordnung der Schemata

2. Wirbelgleichung
ink. hom. Euler-Gl hinschreiben (Auch erklären was ink., hom. und Euler jeweils aussagt, also konst. Volumen, konst. Dichte und keine Viskosität)
2D und 3D herleiten
U aus w berechnen (Vektorpotential, welches das Potentialproblem löst)
Was ist Rotation physikalisch (Betrag und Richtung)
Konkrete Lösung mit Greenscher Funktion hinschreiben
a priori Abschätzung herleiten

3.Schockfilter (darauf war ich nicht gut vorbereitet)
Ziele?
Was macht er genau?
Herleitung?
Verschiedene Versionen hinschreiben.
Skizze mit Cos aus Skript und dann auch mit den Schocks zeichnen und wie die Charakteristiken verlaufen.

4. Dünnfilm (im Prinzip Kapitel 6.1)
Beispiele/Anwendung
hom. ink. Navier-Stokes Gl hinschreiben
Voraussetzungen bzw RBen, auf welchem Gebiet bewegen wir uns?
Herleitung der Dünnfilm-Gleichung in groben Schritten.
Wie genau wurde skaliert?
Allgemeine-Gleichung
Was für eine dgl ist das (parab. 4. Ordnung)
Was für ein Vorzeichen muss vor dem Element 4. Ordnung stehen damit die Gleichung Sinn macht?
Die Rechnung mit der skalierten NS-Gleichung hat ihn eigentlich nicht interessiert.
Formel für Spannungstensor T und was ist kappa? Auch was es physikalisch bedeutet.

Mein Tipp bei wenig Zeit: Kapitel 1 und 2 gut lernen die ersten beiden Fragen stammen fast immer aus diesen Kapiteln und später baut viel auf den Euler- und NS-Glen auf.
Bei den Diffusionsfilter auf jeden Fall alle lernen.
Bei allen Formeln versuchen die physikalischen Hintergründe im Kopf zu behalten oder herauszufinden.


Mi 24-02-2016 16:18:15
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Beitrag Re: Modellierung part. DGL Prüfung Arnold WS15
Hier noch ein Bericht eines Kommilitonen:

Er hat so ungefähr wie bei Partiellen Differentialgleichungen gefragt, halt ziemlich genau und
dieses mal auch die Herleitungen der einzelnen Gleichungen.

Dauer: 1h

Fragen:

1. hyperbolische Erhaltungsgesetze
Lösungsmethode (Charakteristiken)
Schwache Formulierung
Was passiert bei Schock
Schockkurve + Entropiebedingung von Oleinik
Verdünnungswelle und warum wir sie brauchen

2. homogene, inkompressible Euler Gleichung
Welche Randbedingungen
Wirbelgleichung in 2D und 3D
Was ist Betrag und Richtung von w = rot(u) physikalisch betrachtet
Herleitung der Wirbelgleichung

3. Perona Malik Modell
Was ist g, welche Eigenschaften hat es
Wann vorwärts, rückwärts parabolisch
Was passiert auf den Kanten
Nachteil dieses Modells
Regularisiertes Perona Malik Modell
Eigenschaften des regularisierten Modells
Definition Grauwert

4. Dünnfilm Gleichung
Herleitung über Navier Stokes
Welche Skalierung
Welche Randbedingungen


Do 25-02-2016 08:47:39
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Beitrag Re: Modellierung part. DGL Prüfung Arnold WS15
Hallo,

Hier der erste Prüfungsbericht vom Heitzinger in Modellierung:

Generell ist er ein sehr angenehmer Prüfer. Er lässt einen viel reden und fragt dann ev. kurz dazwischen, wenn ihm was gefehlt hat bzw. er etwas genauer wissen will. Allerdings war dir Prüfung richtig lange (mehr als 60 min.) und er geht immer das ganze Kapitel durch anstatt nach einzelnen Ausschnitten zu fragen. Beweise will er nur ganz grob hören. Habe nichts explizit aufschreiben müssen.

Begonnen haben wir mit Verkehrsmodellen und davon so ziemlich alles:
Wie sind wir auf die DGL gekommen?
Mit welcher Methode lösen wir solche DGL?
Wie schauts mit Lösungen aus? Existenz/Eindeutigkeit, Entropiebedingungen etc.
Beweisideen von: RH Bedingung erfüllt -> stw. konstatnte Lsg (mit ul und ur)
bzw. dass schwache Lsg. der PDE die RH Bedingung erfüllen müssen.
Aufbau des Ampelproblems

Nach ca. 25 Min sind wir zu Homogenisierung gegangen. Hier wollte er die grobe Vorgehensweise wissen:
Was ist die Motivation dahinter? Wie schaut das Ausgangsproblem aus? Multiscale Ansatz.
Warum wir genau die Probleme A0u = h betrachtet haben.
Beweisidee von Fredholm für elliptische PDEs
Die Lösung des Systems: Zellproblem, wie schaut das aus? Wie schaut der effektive Koeffizient aus? Ändert sich dieser, wenn man im Zellproblem nicht fordert, dass das Integral über den Torus T^d = 0 sein muss (Antwort: Nein, wegen dem Gradient in A quer fallen Koeffizienten weg).

Dann hat er mich noch gefragt, welche Überlegung wir oft im Zusammenhang mit dem Divergenzsatz beim Herleiten des Zellproblems benutzt haben (Antwort: Dass das Integral über den Rand vom Torus gleich 0 ist aufgrund von Periodizität)
Was für Eigenschaften erbt der effektive Koeffizient von A? Was lässt sich daraus schließen? (Eindeutige Lösbarkeit).


Zuletzt sind wir noch zum Boltzmann Kapitel gegangen. Da hab ich ihm grob die Schritte erklärt. Wie man auf die Liouville Gleichung kommt und dann weitere Annahmen trifft um auf die Vaslov Gleichung zu schließen + Kollisionsoperatoren hinzufügt, um Boltzmann zu erhalten (das wirklich nur ganz grob).
Zum Schluss wollte er dann noch hören, wie man davon andere PDEs ableiten kann.
1) Hilbertentwicklung ganz grob, wie der Ansatz ausschaut und wie es mit Lösbarkeit ausschaut (siehe Lemma)
2) Methode der Momente: Da hab ich ihm nur gesagt, dass man Monome von Komponenten von v nimmt und an die Boltzmanngleichung multipliziert und darüber integriert, sodass eine Hierarchy entsteht, wo eine zusätzliche physikalische Bedingung gefordert werden muss.


Di 31-01-2017 16:14:32
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Beitrag Re: Modellierung part. DGL Prüfung Arnold WS15
Hallo!

Ich hatte heute auch das Vergnügen bei Prof. Heitzinger die Prüfung abzulegen, und ich kann mich nur anschließen: ein sehr angenehmer Prüfer, aber die Prüfung dauert echt lang (>60 min).

Im Prinzip hatte die dieselben Fragen wie im Post davor, allerdings wurde ich statt Boltzmann grob das Kapitel über Musterbildung gefragt: Herleitung der Gleichung, Was ist der Turing Mechanismus + kurze Beweisskizze von der Bedingung für die Instabilität.


Fr 03-02-2017 19:53:25
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Beitrag Re: Modellierung part. DGL Prüfung Arnold WS15
Hatte gestern beim Heitzinger,

Im Prinzip die gleichen Fragen zum Verkehrkapitel wie bei Tobias, statt Ampelproblem wurde nach der Entropiebedingung gefragt ( wichtig, er fragt einige Sachen die nicht im Skriptum drinnen stehen, sondern nur in der Vorlesung gemacht wurden).

Dann noch Herleitung der Boltzmanngleichung (also im Prinzip das komplette Kapitel , wobei ich mir aussuchen konnte ob ich über Hilbertexpansion oder Methode der Momente rede).


Mi 01-03-2017 18:27:27
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Beitrag Prüfung 3.3.17
Meine Prüfung heute (45min):

1) Numerische Schemata:
modifizierte Gleichungen hinschreiben
Welche Ordnung, Eigenschaften 1. Ordnung, 2. Ordnung, was muss für D gelten und warum -> CLF. dann wollte er irgendetwas hören vonwegen "normalerweise probiert man Differenzenschemata durch bis man ein passendes für die Diffgleichung gefunden hat, jetzt variieren wir aber die Diffgleichung bis sie zum Schema passt". Seine Fragestellung hat mich allerdings sehr verwirrt, weswegen wir weiter sind zu
2) homogene inkompressible Euler-Gleichungen: hinschreiben, was heißt homogen, was inkompressibel, Unterschied zu NS + Beispiele für inkompressible/kompressible bzw viskose/n.viskose Flüssigkeiten, von wo nach wo bilden rho, u, p und f überhaupt ab und was stellen sie dar. Dann wollte er hören was inkompressibel bedeutet, ich wollte über d/dt vom Integral über R argumentieren, das hat ihm aber auch nicht gepasst. er wollte etwas hören à la "man stelle sich vor innerhalb des Gebietes R gibt es kleine Flüssigkeitspäckchen, die sich zwar mit der Zeit verformen, aber ihr Volumen behalten"
Wirbelgleichungen: was ist rot in R3 und R2, beide Wirbelgleichungen nur hinschreiben a-priori Abschätzung, wie ist das mit L-unendlich
weiter zu
3) Bildverarbeitung: mittleren Krümmungsfilter hinschreiben, woher kommt er? -> über u_t=laplace u -> lokale koordinaten -> u_eta,eta weglassen -> zurück auf normale koordinaten, generelle Voraussetzungen (das was ganz am Anfang vom Kapitel steht: woher ist f, Gebiet auf dem wir sind usw) nächste spannende Frage: was bedeutet das "mittlere" in "mittlere Krümmung" -> da habe ich nicht einmal seine Erklärung verstanden, wobei er selbst zugegeben hat, dass das Wort sogar im Skript in Klammern steht. Woher kam überhaupt die Idee für diesen Filter? -> keine Diffusion normal zu den Niveaulinien. Was bedeutet Niveaulinie im Bezug auf Bildverarbeitung -> das sind unsere Kanten. weiter zu...
4) Dünnfilmgleichung: eintweder spezielle oder allgemeine hinschreiben, Randbedingungen. Warum braucht man im Gegensatz zu "normalen" Differentialgleichungen x-ter Ordnungen mehr Randbedingungen? und dann wollte er auch noch den "Beweis" warum V wirklich h_xxx entspricht -> da hab ich zugegeben, dass ichs nur überflogen habe.

insgesamt ein sehr freundlicher Prüfer, wenngleich er mich durch seine modifizierten Fragestellungen öfter sehr durcheinander gebracht hat


Fr 03-03-2017 12:03:29
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Beitrag Re: Modellierung part. DGL Prüfung Arnold WS15
Bei meiner Prüfung gestern gab's keine großen Überraschungen:

1. Numerische Methoden:
Lineare Advektionsgleichung hinschreiben, Upwind-Schema mit Diskretisierungsstern, Lokaler Abschneidefehler, modifizierte Gleichung (nur mit Konstante D), Was ist wenn D<0? (rückwärts parabolisch), CFL-Bed

2. Wirbelmodelle:
Inkompressible, homogene Eulergleichungen hinschreiben. Wie bekommt man die? Was sind die einzelnen Variablen und von wo nach wo bilden sie ab? Unterschied zu NS-Gleichungen (keine Reibungskräfte), Herleitung von div(u)=0, Dann zu Wirbelmodellen: Wirbelgleichung hinschreiben + Herleitung, Vereinfachung in 2D, A-priori Abschätung an w. Was bedeuten der Betrag und die Richtung von w?

3. Bildbearbeitung:
Anwendungen und Ziele, Perona-Malik Modell, Bedingungen an g, g hinschreiben, in 1D: wann vorwärts/rückwärts parabolisch?, was passiert bei rückwärts parabolisch? (wachsende Oszillationen) regularisiertes Perona-Malik Modell: Unterschied, u_\sigma definieren

4. Dünnfilm Gleichung:
Gleichung hinschreiben, allgemeinere Dünnfilm Gleichung hinschreiben, Herleitung der Randbedingungen: h=0, h_x=0. Für V=h_{xxx}: allgemeine Überlegung: ersetze in h_t+(hh_{xxx})_x=0, h_{xxx} durch V und erhalte lineare Transportgleichung. Zum Schluss noch die genaue Herleitung


Sa 04-03-2017 14:39:28
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Beitrag Re: Modellierung part. DGL Prüfung Arnold WS15
Hatte gestern Prüfung beim Heitzinger,

Er hat mich das Kapitel Verkehrsfluss gefragt, aber nur bis inklusive Ampelproblem (keine numerischen Methoden usw.). Hier wollte er einige Ergebnisse aus der Vorlesung, die nicht im Skript stehen. Hab ich selbst nicht alles gewusst, er wollte mir deswegen auch fast keinen Einser geben.

Danach Homogenisierung und Boltzmanngleichungen.

Sehr netter Prüfer.


Mi 24-05-2017 13:19:10
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Beitrag Re: Modellierung part. DGL Prüfung Arnold WS15
1. skalare hyperbolische Erhaltungsgleichungen
Glg hinschreiben, welche numerischen Verfahren haben wir da besprochen? Da bin ich automatisch zur Advektionsglg gesprungen, hat ihn aber nicht gestört, da hat er gemeint, „jaja, machen wirs mal für die zum Aufwärmen“. Dann hab ich gefragt, welches Schema ich machen soll. Er: „machen wir Upwind und Lax-Friedrich“ (hab im Endeffekt dann nur Upwind gemacht), Diskretisierungsstern aufgezeichnet, Formel aufgeschrieben. Was für eine Art von Verfahren ist das? Was für Bedingungen brauchen wir an h und k? Wieso muss h/k konstant sein (bei der Konvergenz müssen sie mit gleicher Rate sinken). CFL Bedingung hinschreiben, wie kommt die zustande und wieso muss das D>=0 sein? (Modifizierte Glg, dann vorwärts parabolisch) Was passiert wenn a<0? Wie schaut das Verfahren für die hyp. Erhaltungsgleichung jetzt aus? Da hab ich begonnen zu erzählen wie wir für die Burgers Glg einfach im Schema das a mit einem u ersetzt haben und gesehen haben, dass es gegen die falsche schwache Lösung konvergiert und dass wir daraus sehen, dass das nicht so einfach geht. Und dann die Def. von konservativem Schema aufgeschrieben. Wieso heißt das konservativ? Da hab ich das Schlagwort Massenerhaltung geworfen und er hat gefragt was denn hier die Masse ist? Das wusst ich nicht adhoc, da hat er mir geholfen mit „na wie haben wir denn das u eingeführt, was haben wir ganz am Anfang gemacht?“ und dann mit rho, der fahrzeugdichte, integral über rho in x sind die Fahrzeuge und aaah, da ist die Masse. Das hat ihn dann glücklich gemacht. Also Masse in der skalaren hyperbolischen Erhaltungsglg ist praktisch Integral über u in x.

2. NS Glgen und Helmholtz Hodge Zerlegung
Was sagt die Helmholtz Zerlegung und wozu haben wir die definiert? Wozu gabs diese Projektion und was für Eigenschaften hat sie? Was haben wir dann damit gemacht? (auf die Gleichung angewandt) Wieso ist die Glg nun besser ohne p? Das wusste ich nicht. Er hat dann gemeint, weil man in der Gleichung ohne p dann zumindest die Richtung von u kennt, weil u_t = …, wobei man das bei der anderen Glg nicht wusste und sie schwerer zu handhaben ist.

3. Perona Malik Modell
In welchem Zusammenhang haben wir das Perona Malik Modell eingeführt und wie ist es definiert. Dann das ganze im 1D mit vorwärts und rückwärts parabolisch. Ist das nicht ein Widerspruch, dass wir Kanten schärfen mit der Methode wo es schlecht gestellt ist? Wie geht das? (für kleine Zeiten funktioniert es gut, später treten Oszillationen auf) Was für einen Ausweg gab es? -> regularisiertes Perona Malik Modell. Wie sieht das aus und was ist die Auswirkung?

4. Turing Mechanismus
Was war die Idee hier? Wollte die Def haben der linearisierten Stabilität haben und die Zusammenhänge was jetzt stabil für die nichtlineare Glg und die linearisierte Glg bedeutet. Er wollte weder die genauen Bedingungen noch iwelche Rechungen sehen. Nur, wie wir bei der Herleitung der notwendigen Bedingung für die Instabilität vorgegangen sind. Und wie dann der Übergang von der notwendigen zur hinreichenden Bedingung war. (dass die Moden auch wirklich in dem Intervall liegen müssen)

Alles in Allem war ich sehr überrascht wie oberflächlich er gefragt hat. Also sehr auf Verständnis und Motivation. Definitionen hätte ich sauberer hinschreiben können, aber er wollte kaum Rechnungen sehen.


Fr 31-01-2020 20:55:34
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