bei bsp_7 geht imo alles standardmäßig, hoff ich halt. das mit dem spektrum und spektralradius steht im skriptum unter bsp.1.5.2. es sollte also gelten: "sigma(f) = Abschluss von f(X)". Denn die invertierbaren Elemente aus C sind die ungleich 0.
bei bsp_9 hab den hinweis beachtet, und Mengen der Art V_f = {x: |f(x) > 0|} gebildet. Wenn man nun die Vereinigung dieser Mengenfamilie (also für alle f aus dem Ideal I) bildet, so muss es aufgrund der Kompaktheit von X endlich viele f_1, ..., f_n aus I geben, mit eh schon wissen. Dann könnte man alle f_i mit den komplex-konjugierten (f_i) multiplizieren - diese nenne ich hier (f_i)* und sind ebenfalls stetig, daher in C(X) und daher diese Produkte im Ideal I. Nun kann man die Summe g := (f_1)(f_1)* + ... (f_n)(f_n)* bilden. dies liegt auch im Ideal I - da Ideal linearer Untervektorraum. g ist stetig und überall > 0, daher ist auch 1/g überall stetig, d.h. ein Element aus C(X). Bildet man h := g/g, so ist h = e - die Identität in C(X). h=e sollte in I liegen, und ist invertierbar, denn das Inverse von e ist e selbst.
Hoffe, das stimmt so