heute ist der Geburtstag von
Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


Auf das Thema antworten  [ 28 Beiträge ]  Gehe zu Seite Vorherige  1, 2
Alle Beiträge anzeigen 
SS12 UE7 
Autor Nachricht

Registriert: 10/2007
Beiträge: 27 + 107
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: SS12 UE7
@ Franz
zu 25d):
hier wird gezeigt, dass sin(z) nur reelle nullstellen hat:

http://www.onlinemathe.de/forum/Nullste ... exen-Sinus


Mo 14-05-2012 08:13:16
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2008
Beiträge: 25 + 23
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: SS12 UE7
*edit*


Mo 14-05-2012 09:22:17
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2007
Beiträge: 24 + 2
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: SS12 UE7
knedlsepp hat geschrieben:
SOADdict hat geschrieben:
@maria: c2) widerspricht deinem ergebnis, dass bei z=0 eine hebbare singularität vorliegt. wir hätten eine wesentliche singularität bekommen (weil die reihe "nur um 1 nach rechts geschoben" wird).

Offenbar passt was bei der Argumentation nicht.
Laut WolframAlpha ist die Funktion nämlich ganz.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=poles+of+z*sin%28z%29



http://www.matheboard.de/archive/398514/thread.html
vielleicht hilft das irgendwie weiter (vor allem der zweite post)


Mo 14-05-2012 10:46:17
Diesen Beitrag melden
Profil
Benutzeravatar

Registriert: 10/2007
Beiträge: 29 + 110
Wohnort: 1040
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: SS12 UE7
maria hat geschrieben:
zu c2) ist meine überlegung:
0 ist hebbare singularität genau dann wenn die funktion in einer umgebung von 0 beschränkt ist, riemannscher hebbarkeitssatz nennt sich das glaub ich....
|z*sin(1/z)| <= |z| < epsilon für z in einer epsilon umgebung um 0, also ist z*sin(1/z) dort beschränkt!
oder passt das nicht so?

das funktioniert nicht so, weil der sinus nur auf der reellen achse |sin(z)| < 1 erfüllt und sich zB auf der imaginären achse ganz anders verhält. einer alternative argumentation zu der von lukasM geposteten wäre:

es gilt $i \sin(iz) = \sinh(z)$, und da sinh(1/z) exponientiell gegen unendlich geht, folgt auch für jedes k

$|(iz)^k \sin\frac{1}{iz}| = |z^k\sinh \frac{1}{z}| \to \infty$ für $z\in \mathbb{R}, z\to 0$

=> 0 ist keine hebb. singularität und auch keine polstelle.

dass es keine polstelle ist, sieht man auch daran, dass $z \sin\frac{1}{z} \to 0, \ z\in\mathbb{R}$, denn bei polstellen müssen funktionen gegen unendlich gehen!
so werden sie auch manchmal definiert:
"eine isolierte singularität a von f heißt polstelle, falls $\lim_{z \to a}|f(z)|=\infty$"
---

die beste argumentation bei 25.) finde ich aber noch immer, dass man einfach die laurentreihe um z0 hinschreibt (siehe gescannte lösung, mit der potenzreihe des sinus) und sagt, dass diese auf einem kleinen kreis um z0 eindeutig ist. wenn dabei unendlich viele koeffizienten $a_n \not= 0$ mit n<0 auftreten, muss es also eine wesentliche singularität sein. denn wäre es eine polstelle, hätte ja $z^k f(z)$ für ein k eine potenzreihenentwicklung, und folglich f(z) eine laurententw. mit nur endlich vielen negativen koeffizienten - widerspruch zur eindeutigkeit.


die eindeutigkeit zeigt man, indem man eine gegebene reihendarstellung hernimmt , also

$$f(z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n (z-z_0)^n, \ z\in B_R(z_0) \setminus {z_0}$$

jetzt den ganzen ausdruck mit $(z-z_0)^{-k}$ multipliziert und über den weg $\gamma(t) = z_0 + re^{i2\pi t}$ integriert, wobei r klein genug ist sodass die summe auf $\partial B_r(z_0)$ gleichmäßig konvergent ist und man integral mit summe vertauschen kann.
die summanden sind außer einem einzigen alle gleich 0 (das hat sehr viel damit zu tun dass $\{e^{i2\pi nt} : n\in\mathbb{Z} \}$ ein ONS auf $[0,1]$ ist), und man berechnet genau

$$\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{k+1}}dz = \int_0^1 r^{-k}e^{-i2\pi k t} f(z_0 + re^{i2\pi t})dt = a_k$$

also haben alle laurententwicklungen von f in einer festen kugel $B_R(z_0)$ die gleichen koeffizienten (denn der ausdruck links hängt nur von f ab).


Zuletzt geändert von Gregor am Mo 14-05-2012 16:10:58, insgesamt 7-mal geändert.



Mo 14-05-2012 14:30:32
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2007
Beiträge: 27 + 107
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: SS12 UE7
kann man bei 25e) einfach verwenden, dass z/sin(z) gegen 1 konvergiert für z gegen 0 ?
zeigen kann man das ja mit de l'hospital, die frage ist aber, ob wir das auch im komplexen verwenden dürfen???


Mo 14-05-2012 15:50:26
Diesen Beitrag melden
Profil
Benutzeravatar

Registriert: 10/2007
Beiträge: 29 + 110
Wohnort: 1040
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: SS12 UE7
maria hat geschrieben:
kann man bei 25e) einfach verwenden, dass z/sin(z) gegen 1 konvergiert für z gegen 0 ?
zeigen kann man das ja mit de l'hospital, die frage ist aber, ob wir das auch im komplexen verwenden dürfen???

das sieht man auch aus der taylorreihe des sinus, die im komplexen genauso gilt.. (indem man die taylorreihe durch z dividiert, sieht man auch sofort, dass sin(z)/z eine überall holomorphe funktion ist)


Mo 14-05-2012 15:56:25
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2007
Beiträge: 27 + 107
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: SS12 UE7
ok ja stimmt, danke!
hat eigentlich jemand eine lösung zum 27.) ohne offenheitssatz?
irgendwie muss es ja auch ohne dem funktionieren.....


Mo 14-05-2012 17:07:34
Diesen Beitrag melden
Profil
Benutzeravatar

Registriert: 10/2007
Beiträge: 28 + 204
Wohnort: 1040 Wien // Waldviertel
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: SS12 UE7
Hier bitte, BSP 27 mit dem Offenheitslemma aus dem Remmert-Buch (umgelegt auf den einfacheren Fall, dass f injektiv ist)

Dateianhang:
BSP27.jpg


Du hast keine ausreichende Berechtigung, um die Dateianhänge dieses Beitrags anzusehen.

_________________
Why do Computer Scientists get Halloween and Christmas mixed up?
Because: oct 31 = dec 25


I wish to complain about this parrot that I purchased not half an hour ago from Fachschaft TM.


Mo 14-05-2012 18:35:39
Diesen Beitrag melden
Profil
Benutzeravatar

Registriert: 10/2007
Beiträge: 29 + 110
Wohnort: 1040
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: SS12 UE7
sicher, dass wir den offenheitssatz in der VO ausgelassen haben? im maresch skript ist er auf seite 61. ich glaub das sollte man schon verwenden können.


Mo 14-05-2012 18:42:23
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2007
Beiträge: 27 + 107
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: SS12 UE7
den offenhetssatz haben wir in der vo nicht gemacht.
@ SOADdict:
danke für deine lösung, schaut gut aus! eins ist mir aber nicht klar, was meinst du mit der mittelwertungleichung bzw. maximumprinzip....wie kann man hier das maximumprinzip anwenden?


Mo 14-05-2012 19:56:20
Diesen Beitrag melden
Profil
Benutzeravatar

Registriert: 10/2007
Beiträge: 28 + 204
Wohnort: 1040 Wien // Waldviertel
Mit Zitat antworten
Beitrag 
V ist ja eine Kreisscheibe mit Radius r und die mittelwertungleichung besagt (wenn man genau entlang des Kreises mit Radius r integriert), dass die Werte am Rand von V größer gleich denen im Inneren sind.

_________________
Why do Computer Scientists get Halloween and Christmas mixed up?
Because: oct 31 = dec 25


I wish to complain about this parrot that I purchased not half an hour ago from Fachschaft TM.


Mo 14-05-2012 20:36:36
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2010
Beiträge: 27 + 69
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: SS12 UE7
Das Maximumsprinzip können wir wie folgt anwenden:
In der VO haben wir folgenden Satz aufgeschrieben(Bez. gleich für unser Beispiel):


Da wir annehmen, es gibt keinen Punkt $\tilde z\in U$ sodass $f(\tilde z) = b$, ist $g(z) = \frac{1}{f(z)-b}\in H(U)$, womit insbesondere $g\in H(\overline V)$ gilt, wir also den oben beschriebenen Satz anwenden können.


Mo 14-05-2012 20:58:14
Diesen Beitrag melden
Profil
Benutzeravatar

Registriert: 10/2007
Beiträge: 26 + 19
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: SS12 UE7
Beispiel 26 unter Verwendung der logarithmischen Ableitung.
(Der Hinweis geht allerdings ned so direkt ein)

Zuerst zeigen wir als Hilfssatz: (Is in der VO vom 7. und 9. Mai schon vorgekommen)
Sei $g$ eine meromorphe Funktion, dann gilt: 

Die logarithmische Ableitung $\frac{g'}{g}$ hat an den Polstellen von g nur Pole der Ordnung eins.
Beweis:


Eigentlicher Beweis:

_________________
Without geometry, life is pointless.
Ohne Trigonometrie ist das Leben sin-los.
I can't believe it's not a hyperlink


Di 15-05-2012 00:05:22
Diesen Beitrag melden
Profil
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:  Sortiere nach  
Auf das Thema antworten   [ 28 Beiträge ]  Gehe zu Seite Vorherige  1, 2
Alle Beiträge anzeigen 


Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 1 Gast


Du darfst neue Themen in diesem Forum erstellen.
Du darfst Antworten zu Themen in diesem Forum erstellen.
Du darfst deine Beiträge in diesem Forum nicht ändern.
Du darfst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du darfst keine Dateianhänge in diesem Forum erstellen.

Suche nach:
Gehe zu:  
cron
Powered by phpBB © phpBB Group.  |  Designed by STSoftware for PTF  |  © Czechnology 2007 - 2024  |  Deutsche Übersetzung durch phpBB.de