das funktioniert nicht so, weil der sinus nur auf der reellen achse |sin(z)| < 1 erfüllt und sich zB auf der imaginären achse ganz anders verhält. einer alternative argumentation zu der von lukasM geposteten wäre:
es gilt
, und da sinh(1/z) exponientiell gegen unendlich geht, folgt auch für jedes k
für
=> 0 ist keine hebb. singularität und auch keine polstelle.
dass es keine polstelle ist, sieht man auch daran, dass
, denn bei polstellen müssen funktionen gegen unendlich gehen!
so werden sie auch manchmal definiert:
"eine isolierte singularität a von f heißt polstelle, falls
"
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die beste argumentation bei
25.) finde ich aber noch immer, dass man einfach die laurentreihe um z0 hinschreibt (siehe gescannte lösung, mit der potenzreihe des sinus) und sagt, dass diese auf einem kleinen kreis um z0
eindeutig ist. wenn dabei unendlich viele koeffizienten
mit n<0 auftreten, muss es also eine wesentliche singularität sein. denn wäre es eine polstelle, hätte ja
für ein k eine potenzreihenentwicklung, und folglich f(z) eine laurententw. mit nur endlich vielen negativen koeffizienten - widerspruch zur eindeutigkeit.
die eindeutigkeit zeigt man, indem man eine gegebene reihendarstellung hernimmt , also
jetzt den ganzen ausdruck mit
multipliziert und über den weg
integriert, wobei r klein genug ist sodass die summe auf
gleichmäßig konvergent ist und man integral mit summe vertauschen kann.
die summanden sind außer einem einzigen alle gleich 0 (das hat sehr viel damit zu tun dass
ein ONS auf
ist), und man berechnet genau
also haben alle laurententwicklungen von f in einer festen kugel
die gleichen koeffizienten (denn der ausdruck links hängt nur von f ab).