hey, also danke erstmal für die lösungen! dein 23er hat mir sehr geholfen.
zum 21er: es gibt kein "minimumsprinzip" für allg. holomorphe funktionen. zB die identität z nimmt in jedem gebiet, das die 0 enthält, ihr betragsmäßiges minimum an, nämlich eben 0.
hier muss eingehen, dass f und g nullstellenfrei sind, und man das max-prinzip daher sowohl auf f/g als auch auf g/f anwenden kann!
zu 24: ja das ist echt mühsam wenn mans genau machen will. auf jeden fall kann man punkt a.) auf punkt b.) reduzieren, indem man für jeden weg im R^n\{0} die homotopie
hernimmt, die zeigt, dass er homotop zu einem weg auf der sphäre ist.
b.)
für n=2 ist im prinzip zu zeigen, dass ein weg auf dem einheitskreis genau dann nullhomotop ist, wenn er umlaufzahl 0 hat. (denn das würde zeigen, dass die umlaufzahl ein isomorphismus von der fundamentalgruppe nach
ist.) es ist nur die frage, wie man für allgemeine stetige wege die umlaufzahl definiert.
im
maresch-skriptum (von 2010) wird das auf seite 50 getan, und genau das resultat, welches wir brauchen, in proposition 3.46 bewiesen. (allerdings sind manche seiner behauptungen in dem skriptum mit vorsicht zu genießen, da er anscheinend glaubt, dass man über jeden stetigen weg integrieren kann - dabei müssen sie rektifizierbar sein. zB prop. 3.41.1 und satz 3.29 gelten sicher nur für rekt. wege..)
für n>2 wäre mein ansatz gewesen, für einen gegebenen weg
und einen punkt x auf der sphäre folgende homotopie zu verwenden:
das ist aber nur eine homotopie zum konstanten weg x, wenn der nenner nicht null wird, was er nur dann tun kann, wenn es einen punkt auf
gibt, der genau gegenüber von x liegt. man würde also gern einen punkt x wählen, sodass
für alle t. das geht, wenn es nur einen einzigen punkt auf der sphäre gibt, der von
nicht getroffen wird..
wobei wir beim problem wären, dass es eben
doch wege gibt, die die ganze sphäre ausfüllen.
zB hier wird anschaulich erklärt, wie man dieses problem umgehen kann:
http://www.mathreference.com/at,sntriv.html(ist recht mühsam und schrammt an einem strengen beweis noch knapp vorbei, aber sollte ausreichen)
lg gregor