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Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


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SS12 UE6 
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Beitrag SS12 UE6
Bsp 21 und 22 sind 2007 in Übung 10 schon mal gekommen (Bsp 2 und 5). Anbei die Lösungen von damals und meine Lösung zum 21er, welche natürlich von der damaligen Lösung inspiriert ist. Punkt b hab ich aber anders, glaub ich zu mindestens(habs mir dann nicht mehr angesehen).


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Do 26-04-2012 20:29:59
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Beitrag Re: SS12 UE6
Meine Lösung zu Bsp 23.
Auf der ersten Seite habe ich mir mal die Definitionen der einzelnen Homotopiearten zusammengeschrieben(aus "Funktionentheorie II" von R. Remmert).
zu b)
Ich hoffe die Argumentation bez. der Stetigkeit von $\tilde{\Gamma}$ passt so. Falls jemand einen Fehler findet, bitte posten.


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Mo 30-04-2012 21:39:43
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Beitrag Re: SS12 UE6
zum 24er:
Im Wikipedia-Artikel zur Fundamentalgruppe sind bei den Beispielen die Sphären komplett und die Ebene ohne Nullpunkt für n=2 abgedeckt.
Die Fundamentalgruppe der Sphäre im R2 ist genauso wie die Fundamentalgruppe der Ebene R2 ohne Ursprung isomorph zu Z. Wobei die Äquivalenzklasse genau die Kurven mit gleichem Index bezüglich Ursprung sind.
Die Fundamentalgruppe der Sphäre in höherdimensionalen Räumen (n>2) ist die triviale Gruppe die nur das neutrale Element enthält. D.h. jede beliebige geschlossene Kurve ist nullhomotop.
Ich schätze, dass sich die Fundamentalgruppe des n-dimensionalen Raumes ohne Ursprung genauso verhält, dass also jede geschlossene Kurve nullhomotop ist.
Das würde aber implizieren, dass es keine Kurve gibt, die eine ganze Kugeloberfläche abdeckt, was ja durch das Beispiel bezüglich der Fundamentalgruppe der Sphäre im Wikipedia-Artikel bestätigt wird.

http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalgruppe


Di 01-05-2012 11:00:50
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Beitrag Re: SS12 UE6
Falls irgendjemand eine genauere Lösung bzw. Ausformulierung fürs 24er hat, wäre ich dankbar, wenn er/sie es posten würde.
Eine Idee hätte ich noch dazu:
Wenn man irgendeine Kurve im R^n ohne Ursprung betrachtet, dann kann man die sicher immer stetig auf die Einheitssphäre projizieren. Die Einheitssphäre hat ja dann kein Loch, also müsste jede Kurve darauf nullhomotop sein. Vielleicht könnte man ja die Einheitssphäre dann auf eine Hyperebene(ohne Loch) projizieren, dort eine Homotopie finden (also stetige Überführung einer beliebigen Kurve in einen Punkt), das Ergebnis wieder zurück projizieren und somit eine Homotopie auf der Sphäre erhalten.

Also falls irgendjemand eine schöne Lösung hat, bitte posten.


Sa 05-05-2012 10:46:44
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Beitrag Re: SS12 UE6
hey, also danke erstmal für die lösungen! dein 23er hat mir sehr geholfen. :)
zum 21er: es gibt kein "minimumsprinzip" für allg. holomorphe funktionen. zB die identität z nimmt in jedem gebiet, das die 0 enthält, ihr betragsmäßiges minimum an, nämlich eben 0.
hier muss eingehen, dass f und g nullstellenfrei sind, und man das max-prinzip daher sowohl auf f/g als auch auf g/f anwenden kann!

zu 24: ja das ist echt mühsam wenn mans genau machen will. auf jeden fall kann man punkt a.) auf punkt b.) reduzieren, indem man für jeden weg im R^n\{0} die homotopie
$$\Gamma(t,s) = \frac{\gamma(t)}{\| \gamma(t) \|^s}$$
hernimmt, die zeigt, dass er homotop zu einem weg auf der sphäre ist.

b.)
für n=2 ist im prinzip zu zeigen, dass ein weg auf dem einheitskreis genau dann nullhomotop ist, wenn er umlaufzahl 0 hat. (denn das würde zeigen, dass die umlaufzahl ein isomorphismus von der fundamentalgruppe nach $\mathbb{Z}$ ist.) es ist nur die frage, wie man für allgemeine stetige wege die umlaufzahl definiert.
im maresch-skriptum (von 2010) wird das auf seite 50 getan, und genau das resultat, welches wir brauchen, in proposition 3.46 bewiesen. (allerdings sind manche seiner behauptungen in dem skriptum mit vorsicht zu genießen, da er anscheinend glaubt, dass man über jeden stetigen weg integrieren kann - dabei müssen sie rektifizierbar sein. zB prop. 3.41.1 und satz 3.29 gelten sicher nur für rekt. wege..)

für n>2 wäre mein ansatz gewesen, für einen gegebenen weg $\gamma$ und einen punkt x auf der sphäre folgende homotopie zu verwenden:
$$\Gamma(t,s) = \frac{sx + (1-s)\gamma(t)}{\| sx + (1-s)\gamma(t) \|}$$

das ist aber nur eine homotopie zum konstanten weg x, wenn der nenner nicht null wird, was er nur dann tun kann, wenn es einen punkt auf $\gamma$ gibt, der genau gegenüber von x liegt. man würde also gern einen punkt x wählen, sodass $\gamma(t) \not= -x$ für alle t. das geht, wenn es nur einen einzigen punkt auf der sphäre gibt, der von $\gamma$ nicht getroffen wird..
wobei wir beim problem wären, dass es eben doch wege gibt, die die ganze sphäre ausfüllen.

zB hier wird anschaulich erklärt, wie man dieses problem umgehen kann:
http://www.mathreference.com/at,sntriv.html
(ist recht mühsam und schrammt an einem strengen beweis noch knapp vorbei, aber sollte ausreichen)

lg gregor


Mo 07-05-2012 02:14:56
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Beitrag Re: SS12 UE6
haben wir eigentlich die FEP-homotopie in der vorlesung definiert? ich kann das nicht finden...wir haben ja irgendeine andere homotopie-version definiert!


Mo 07-05-2012 20:25:31
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Beitrag Re: SS12 UE6
maria hat geschrieben:
haben wir eigentlich die FEP-homotopie in der vorlesung definiert? ich kann das nicht finden...wir haben ja irgendeine andere homotopie-version definiert!

Ich war in der einen VO wo wirs definiert ham leider nicht da, aber wenn man sich in der Übung auf die Angabe bezieht, dann ist ja der Unterschied einfach, dass
FEP Homotopie := Freie Homotopie sodass F(a,.) = F(b,.) = gamma(a) = eta(a) = gamma(b) = eta(b).
FEP Homotopie kanns also nur zwischen geschlossenen Wegen geben, die den gleichen Startpunkt ham.

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Mo 07-05-2012 20:37:53
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Beitrag Re: SS12 UE6
ja stimmt, wird wohl so sein...und bei den lösungen von Franz sind diese stetigen abbildung gamma bzw. gamma-schlange jeweils auf [0,1]^2 definiert, sollten sie nicht auf [a,b]x[0,1] definiert sein, eben so wie in der angabe das F?


Mo 07-05-2012 20:43:36
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Beitrag Re: SS12 UE6
ob [0,1] oder [a,b] ist, denke ich, nur Definitionssache. Du kannst den Beweis sicher leicht so umändern, dass du statt [0,1] das Intervall [a,b] verwendest.


Mo 07-05-2012 20:55:25
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Beitrag Re: SS12 UE6
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Mo 07-05-2012 21:01:15
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