heute ist der Geburtstag von
Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


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SS12 - UE1 
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Beitrag SS12 - UE1
Hi!

@ Beispiel 1:
Ich würde sagen, wenn man einen Isomorphismus $\phi: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}[x]/(x^2+1),~ a + i\cdot b \mapsto a + x\cdot b$ definiert, dann ist damit, weil ja $\mathbb{C}$ ein Körper ist, auch schon gezeigt, dass $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ ein Körper ist. Wenn man eine Isomorphismus bez. + und bez. * von einem Körper K in eine Menge M findet, dann bedeutet das, dass M auch ein Körper ist oder? Die ganzen Körperaxiome können ja dann in K überprüft werden.

@ Beispiel 2:
Wie man zeigen kann, ist $\phi: \mathbb{C} \rightarrow R,~ a + i\cdot b \mapsto \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a  \end{pmatrix} $ ein Isomorphismus bez. + und bez. *.
Daher müsste so wie im ersten Beispiel auch gezeigt sein, dass R ein Körper ist. Da ich jeden Körperautomorphismus $\psi$ von $\mathbb{C}$ mittels $\phi\circ \psi\circ \phi^{-1}$ in einen Körperautomorphismus von R umwandeln kann und umgekehrt und meiner Meinung nach die einzigen Körperautomorphismen in $\mathbb{C}$ die Identität und die Konjugation sind, müsste man damit schon fertig sein. Nur der Zusatz "stetige Körperautomorphismen" irritiert mich ein wenig....

... irgendwelche Einwände?


Fr 09-03-2012 11:08:08
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zu Beispiel 2: der "Zusatz" stetig ist schon wichtig.
Aus $\zeta \in AUT(\mathbb{C})$ folgt $\zeta(1)=1$ und wie man sich dann überlegt, dass $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ punktweise festgehalten werden.
Erst wegen der Stetigkeit von $\zeta$ bleibt auch $\mathbb{R}$ punktweise fest und aus LinAlg Satz 1.12.6 bekommt man, dass es nur die 2 genannten Abbildungen gibt!

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Fr 09-03-2012 12:04:18
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Beitrag Re: SS12 - UE1
Alles klar. Danke für den Hinweis.


Fr 09-03-2012 12:10:48
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Beitrag Re: SS12 - UE1
@ Beispiel3:

siehe Wikipedia - Quaternionen - Unterpunkt: komplexe Matrizen
http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion

@ Beispiel4:
Die Eulersche Formel $e^{a+i\cdot b} = e^a \cdot (cos(b) + i\cdot sin(b))$ kann man mittels der Potenzreihendarstellung der e-Funktion und der Cosinus- und Sinus-Funktion zeigen. Als Urbild der e-Funktion von {1} erhalte ich dann $\{i\cdot 2 k\pi~|~ k \in \mathbb{Z} \}$ und somit als Urbildmenge einer beliebigen komplexen Zahl $z_0 = x + i\cdot y \in \mathbb{C}$ die Menge $\{ ln(\sqrt{x^2 + y^2}) + i \cdot \left( arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}) + 2k\pi \right) ~|~ k \in \mathbb{Z} \}$


Fr 09-03-2012 16:47:08
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Beitrag Re: SS12 - UE1
müsste man dann bei beispiel 2 nicht noch zeigen, dass der isomorphismus $\phi$ stetig ist um von den stetigen automorphismen auf $\mathbb{C}$ auf jene auf R zu schließen? und wenn ja welche norm nimmt man denn dann?


Fr 09-03-2012 19:57:52
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Beitrag 
...hab die frage falsch verstanden...

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Zuletzt geändert von SOADdict am Mo 12-03-2012 18:30:48, insgesamt 1-mal geändert.



Mo 12-03-2012 12:03:55
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Beitrag Re: SS12 - UE1
Ich meine aber welche Norm man auf den 2x2 Matrizen hat?
Die Stetigkeit in C ist mir schon klar nur eben bei den Matrizen......


Mo 12-03-2012 16:20:49
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Beitrag Re: SS12 - UE1
maria hat geschrieben:
Ich meine aber welche Norm man auf den 2x2 Matrizen hat?
Die Stetigkeit in C ist mir schon klar nur eben bei den Matrizen......


Das ist irgendwie ein Argument. Wir ham jetzt eigentlich nur gesagt: "\C ist isomorph zu dem Ring und deswegen ists egal von welchem Ding man die Automorphismen bestimmt"
Bin mir jetzt irgendwie unsicher ob man dann die Stetigkeit vom Isomorphismus zeigen soll...
Wenn ja, dann wärs aber wahrscheinlich eine gute Idee die Matrixnorm als:
|| (a, -b ; b a) || := sqrt(a^2 + b^2)
zu definieren.
(Bzw.: Die Frobeniusnorm verwendet, die hier auf sqrt(2*a^2 + 2*b^2) = sqrt(2) * sqrt(a^2 + b^2) rausläuft. Und irgendwo ham wir ja schonmal gehört, dass die Topologien, ob von Zeilensummen oder Spaltensummen oder eben der Frobeniusnorm erzeugt, alle gleich sind. Und damit ist der Isomorphismus wohl sicher stetig, wenn die Normen bis auf nen Faktor im Bild und Zielraum gleich sind.)

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Mo 12-03-2012 21:50:20
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