hamfire
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Studium: Doktoratsstudium
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Prüfung
Prüfung bei Prof. Länger, Universale Algebra (3 ECTS, [AKALG], SS 15) am 10. Okt. 2016:
- Kap. 8: Was ist eine Varietät? Wie kann man die Def. noch anders formulieren? Gibt es eine kleinste Varietät, die die Teilklasse K umfasst? -- Ja: Operator HSP(K).
- Kap. 11: eigentlich das gesamte Kapitel: also wann heißt K kongruenz-vertauschbar, wann kongruenz-distributiv? Maltsevterm Def. + Satz, Majoritätsterm Def. + Satz, Pixley-Term Def. + Satz, dazwischen: was heißt arithmetisch? Und die ganzen Zusammenhänge zwischen den einzelnen Termen erläutern.
- Kap. 12: Ausgangsproblem: wir haben eine Unteralgebra B von Algebra A. Frage: Gibt es eine Kongruenzrelation auf A und ein a aus A, s.d. sich B darstellen lässt als eine Klasse einer Kongruenz von A? --> Ja! Wie lösbar? --> durch Satz später. Was brauchen wir dazu? --> Def. von Menge aller 1-stelligen Polynomfunktionen. Dann Satz selbst am Schluss (ohne Bew.).
- Kap. 7: Direkte/Subdirekte Produkte: Def., Zusammenhänge. Dann weiter zu direkt/subdirekt irreduziblen Algebren: Def. + Eigenschaften. Immer wieder kleine Zwischenfragen. Was geht bei subdirekt, was bei direkt nicht geht? --> Satz von Birkhoff. Ist jede Algebra isomorph zu einem direkten Produkt direkt irreduzibler Algebren? --> Antwort: endliche immer, aber generell nicht. Gegenbeispiel: spezielle Boolsche Algebra (Satz).
- Kap. 9: was ist eine freie Algebra? Wieso beschäftigen wir uns mit dieser? A: weil in freien Algebren möglichst wenige Gesetze gelten, Bsp: freie Halbgruppe über nichtleere Menge M = Menge aller nichtleeren Wörter über M. Was heißt absolut frei (Def. + Motivation: es gelten keine Gesetze) und wo haben wir diesen Begriff kennengelernt (Kap. 10 --> Termalgebra). Existenz einer freien Algebra: welche Abschwächung haben wir da in der VO kennengelernt? --> K abgeschlossen bzgl. I, S und P, statt H, S und P.
Wie immer herrscht bei Prof. Länger eine sehr angenehme Atmosphäre. Bei mir kamen nur die hinteren Kapitel, obwohl ich zumindest mit Kap. 6 (Homomorphie und Isomorphiesätze) fix gerechnet hätte. Er fragt sehr viele (kleine) Details und ist recht genau (muss er sein bei dem Themengebiet), fragt aber eigentlich keine Beweise, sondern eher Zusammenhänge und eventuell Beweisideen. Benotung ist ziemlich fair. Der Stoff ich recht abstrakt, und ich habe vieles erst nach mehrmaligem Durchlesen 100%ig verstanden. Es hilft, wenn man sich selbst Beispiele sucht oder konstruiert.
_________________ Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.
David Hilbert
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