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Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


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Manhart: 1. Test, 17.11.2010 
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Beitrag Manhart: 1. Test, 17.11.2010
1. Gegeben ist der Weg $c:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3: c(t) := (2t,3t^2,3t^3)$
(a) z.z.: c ist Immersion
(b) Berechne $L_0^1(c)$
(c) Berechne Krümmung und Torsion (Formeln waren gegeben)
(d) Begründe: c ist eine Böschungskurve mit Böschungswinkel 45°
(e) Berechne den zur Böschungskurve gehörigen Vektor v (wie in Übungssammlung angegeben)
(f) Stelle die Gleichung der Schmiegebene $\sigma(1)$ auf

2. $u:  U:= \mathbb{R} \times (0,\pi) \to \mathbb{R}^3: (u,v) \mapsto (u \cdot \cos \frac{v}{2}, u \cdot \sin \frac{v}{2}, \frac{-2}{\sin v})$
(a) Beschreibe die Parameterkurven für $v = v_0$ (Form/Lage)
(b) Berechne die Koordinatenfunktionen der metrischen Grundform
(c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Parameterkurven?
(d) $a:=(1,\frac{\pi}{2}), c(t) := a + t(1,1) = (1 + t, \frac{\pi}{2} + t)$
$t \in (-\epsilon,\epsilon)$ für geeignetes Epsilon
Zeige: $c_f$ ist ein regulärer Flächenweg
(e) Berechne $\dot{c}_f(0)$ und den cos des Winkels der Kurven $c_f$ und 1-Parameterkurve durch $c_f(0)$
(f) z.z.: $f(U) \subset F^{-1}0$ mit $F(x,y,z) := xyz + x^2 + y^2$
(trigonometrische Formel zur Vereinfachung war gegeben)
(g) Gesucht: kritische Punkte von $F^{-1}0$


Do 17-02-2011 00:21:27
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