heute ist der Geburtstag von
Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


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WS12-UE8 
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Beitrag WS12-UE8
Beispiel 2


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Mi 28-11-2012 21:36:26
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Beitrag Re: WS12-UE8
Die Angabe und Bsp1. Punkt c) auf zwei verschiedene Arten.


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Mi 28-11-2012 23:35:54
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Beitrag Re: WS12-UE8
zi 1c)
Schöne Lösung, nur die Aussage (2) kann für konstante $v\in H^1$ nie gelten, da dann $a(u,v)=0\forall u\in V$. Ich glaub da dividierst du irgendwo durch 0.

Hat wer was sinnvolles beim 3er rausbekommen? Ich habs mit der Basis $V_n=\{S_m,C_m-(-1)^m\vert m=1,...,n\}$ versucht und komm auf nicht konvergierende Koeffizienten.


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Mi 28-11-2012 23:58:31
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Beitrag Re: WS12-UE8
@ Gregor d C

Danke! Du hast recht, Variante 2 geht so nicht. Aber Variante 1 sollte stimmen oder?
und Danke für die Lösung von Bsp. 2.


Do 29-11-2012 00:13:15
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Beitrag Re: WS12-UE8
@Franz: Der Beweis sollte stimmen, auch wenn ich es anders notieren würde

Erster Schritt:
$u\in H^1: a(u,v)=F(v)\forall v\in H^1 \Rightarrow \bar{f}=0$
Zweiter Schritt
$u\in V: a(u,v) =F(v) \forall v\in V, \bar{f}=0\Rightarrow a(u,v)=F(v)\forall v\in H^1$

Hab grad gesehen, mein punkt c) ist falsch, da die $W_\epsilon$ keine linearen Räume sind. THX! für die Ersatzlösung 8)

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Do 29-11-2012 01:39:52
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Beitrag Re: WS12-UE8
Zitat:
Hat wer was sinnvolles beim 3er rausbekommen? Ich habs mit der Basis $V_n=\{S_m,C_m-(-1)^m\vert m=1,...,n\}$ versucht und komm auf nicht konvergierende Koeffizienten.


$C_m-(-1)^m$ sollte noch normiert werden (d.h. mit $\frac{1}{2}$ multiplizieren). Ansonsten sollte es meiner Meinung nach mit dieser Basis funktionieren.
Meine Vermutung für das vollständige ONS in 4b) ist übrigens genau diese Basis (normiert bezüglich der $H^1$-Norm. Sie liegt nämlich im $H_0^1$ und gibt man den Vektor $C_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ dazu, dann erhält man eine Basis die laut Angabe vom 2er bereits ganz $L^2(-1,1)$ aufspannt...


Do 29-11-2012 20:59:08
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Beitrag Re: WS12-UE8
Zur normierung: Is richtig, die muss man machen, aber das LGS wird dadurch ja wahnsinnig schlimm :shock: . Ich werd glaub ich einfach nur die Sinustherme als "basis" verwenden, wenn Ich an die Tafel komm :wink:
Franz hat geschrieben:
Meine Vermutung für das vollständige ONS in 4b) ist übrigens genau diese Basis (normiert bezüglich der $H^1$-Norm. Sie liegt nämlich im $H_0^1$ und gibt man den Vektor $C_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ dazu, dann erhält man eine Basis die laut Angabe vom 2er bereits ganz $L^2(-1,1)$ aufspannt...

Die basis ist aber nich Orthogonal, außerdem müsstest du von (-1,1) auf (0,1) transformieren. Mein vorschlag beim 4b) ist $V=\{\sin(n\pi x)\vert n\in \mathbb{N}\}$ bzw zum Normieren mit $\frac{2}{1+n^2\pi^2}$ multiplizieren.

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Do 29-11-2012 21:51:23
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Beitrag Re: WS12-UE8
@ Gregor d. C. du hast recht. Die Basis, die wir im 3er verwenden, ist nicht orthogonal. Zum normieren der Sinus-Terme müsstest du aber $\sqrt{\frac{2}{1+n^2\pi^2}}$ nehmen, wenn ich mich nicht irre...

zum 4er:
Bekommt sonst noch jemand bei c) raus, dass V im Kern von F liegt und deshalb u=0 ist?
Also insbesondere u(1/2,1/2) = 0.

EDIT: hoppala, hab übersehen, dass bei 4b $\Omega = (0,1)$ und nicht $\Omega = (-1,1)$ gilt.


Do 29-11-2012 23:12:58
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Beitrag Re: WS12-UE8
Franz hat geschrieben:
Bekommt sonst noch jemand bei c) raus, dass V im Kern von F liegt und deshalb u=0 ist?
Also insbesondere u(1/2,1/2) = 0.

Bei dir werden die Rechten Seiten, also die $F(v_i)$ null sein, nehm ich an. Bei mir kommt $F(v_i)=\frac{4}{mn\pi^2}$ raus, wobei die $m,n$ die einser bzw. dreier in $v_1,..v_4$ sind.

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Fr 30-11-2012 01:02:59
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Beitrag Re: WS12-UE8
Genau, die $F(v_i)$ sind 0 bei mir, weil ich nämlich auch hier mit $\Omega = (-1,1)\times(-1,1)$ gerechnet habe... verdammt...


Fr 30-11-2012 01:09:54
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