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Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


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Prüfung Arnold 20.01.2011 
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Beitrag Prüfung Arnold 20.01.2011
1. (5 Punkte)
$f = \frac{x}{|x|^2}, \ (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2\backslash\{0\}$
z.z.: $\text{div} f = 2\pi \delta_0$

2. (4+1 Punkte)
$\begin{array}{cl}
           u_t = u_{xx} - u, & (x,t) \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \times (0,\infty) \\
           u(-\frac{\pi}{2},t) = 0, & t \in (0,\infty) \\
           u(\frac{\pi}{2},t) = 0, & t \in (0,\infty)\\
           u(x,0) = \cos(x) + \sin(2x), & x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})
           \end{array}$
(a) Anfangsrandwertproblem lösen
(b) Langzeitverhalten diskutieren: stationäre Lösung, Abklingrate?

3. (1+2+2 Punkte)
$\Omega \subset \mathbb{R}^n$ beschränktes Gebiet mit $C^2$-Rand
$F: L^2(\Omega) \to (L^2(\Omega))^n$ mit $F(w) = \nabla u$, wobei
u das Problem $\Delta u = w \ \text{in} \ \Omega, u = 0 \ \text{auf} \ \partial \Omega$ löst
(a) z.z.: F ist beschränkt
(b) z.z: F ist kompakt (Hinweis: Regularität von u)
(c) $n = 1, \Omega = (0,1)$: bestimme alle (auch komplexen) Eigenwerte des Operators F

4. (2+3 Punkte)
$\Delta^2 u + u = f$, wobei $\Delta^2 u := \Delta(\Delta u)$
(a) Formel für Fouriertransformierte der Lösung $\hat{u}$ in Abhängigkeit von $\hat{f}$.
(b) z.z.: $\hat{u} \in L^1(\Omega) \cap L^2(\Omega)$


Fr 21-01-2011 00:40:05
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