Er ist ein Mathematiker und also hartnäckig.
J. W. Goethe


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Summationsexperte gesucht 
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Beitrag Summationsexperte gesucht
Wer hat eine Idee, wie man folgende Gleichheit zeigt?

$\sum_{k=0}^j \frac{ (-1)^k}{k! (j-k)!} \frac{1}{2k+1} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(3/2 + j)}$

bzw. eben

$\sum_{k=0}^j \frac{ (-1)^k}{k! (j-k)!} \frac{1}{2k+1} = \frac{(j+1)! 4^{j+1}}{2\cdot (2(j+1))!}$

Mein Dank wäre wirklich grenzenlos!!

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Do 12-04-2012 12:27:42
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Ich weiß ja jetzt nicht, ob dir der Ansatz hier hilft, aber ein hinreichendes Kriterium wäre ja zum Beispiel

Aus $g(0)=0$ und $g(n)-g(n-1)=f(n), \forall n\in \mathbb{N}_+$ folgt $\sum_{k=1}^j f(k) = g(j)$.

Bei deinem Beispiel muss man halt berücksichtigen, dass die Summe ja bei 0 beginnt ... aber wenn du g und f einfach einsetzt und rumprobierst, kann man das Kriterium vielleicht ja ganz einfach zeigen.

Was mir sonst noch einfällt, wäre halt Induktion. Oder vielleicht kann man ja die Gleichheit für obiges Kriterium mit Induktion zeigen ...

Viel Glück


Do 12-04-2012 14:30:28
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Danke für deine Hilfe schon mal!

Ich denke das Problem was ich mit deinem ersten Kriterium hätte, wäre dass bei dieser Summe ja auch die f(k) von j abhängen...

Induktion hab ich schon probiert, der Trick dürfte dabei aber zumindest mir nicht einfallen :)

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Do 12-04-2012 14:34:18
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wie dem auch sei, danke allen die sich dazu vlt kurz Gedanken gemacht haben... habe jetzt eine Möglichkeit gefunden, über die Beta-Funktion kann man es (relativ) leicht zeigen...

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Do 12-04-2012 15:26:24
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