This one's tricky. You have to use imaginary numbers, like eleventeen...
Calvin


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SS10: UE02 
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Beitrag SS10: UE02
Beim 2. Teil von Bsp. 4 würde ich gerne auf den Beweis von Satz 1.3.10 zurückgreifen. Allerdings ist mir nicht klar, warum hier Integral und Limes vertauscht werden darf. Der Viertl meinte in der VO, dass das aufgrund irgendeines Integralkonvergenzsatzes gilt, irgendwie find ich aber nix, was sich anwenden lässt. :?


Do 01-04-2010 19:35:51
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Beitrag Re: SS10: UE02
Bist aber früh dran diesmal ;)

Kann man denn keine Majorante für die t_n finden?

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Do 01-04-2010 20:15:49
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Beitrag Re: SS10: UE02
Ja ich hab grad sonst recht wenig zu tun :D

Doch geht, dachte nur, ich hätte was Elementares übersehen.


EDIT: Irgendwas Fundamentales muss es da dann aber doch geben, wenn im Skriptum so allgemein davon Gebrauch gemacht wird.


Do 01-04-2010 22:42:13
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Beitrag Re: SS10: UE02
Was ich dir noch sagen kann: mit dem Satz von Scheffé folgt aus der punktweisen Konvergenz der Funktionen sowie aus der Gleichheit deren Integrale (da die tn Verteilungsfkt. sind, die punktweise gegen die Normalverteilung konvergieren, sind diese Vorraussetzungen gegeben) die L_1 - Konvergenz der tn gegen die Normalverteilung.
Aus der L_1 - Konvergenz folgt die Vertauschbarkeit der Grenzwerte (siehe z.B. S. 92 in Mass- und Integrationstheorie, Heinz Bauer).

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Fr 02-04-2010 11:14:44
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Beitrag Re: SS10: UE02
Passt danke, genau sowas wie den Satz von Scheffé hab ich gesucht 8)


Sa 03-04-2010 10:13:27
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Beitrag Re: SS10: UE02
Hat sich schon jemand mit Bsp. 1 beschäftigt?

Anschaulich ist klar, was man tut: Man wähle $U_1, U_2 \sim U_{0,1}$, dann sind $V_1, V_2 \sim V_{0,1}$. Liegt $(V_1,V2)$ in der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe, so gilt für den qu. Abstand $S=V_1^2+V_2^2 \sim U_{0,1}$.

Dann sind $(V_1/ \sqrt{S},V_2/ \sqrt{S})$ gleichverteilt auf dem Einheitskreis und daher ihr Polarwinkel $\Phi \sim U_{0,2 \pi}$.

Man landet also beim Box-Muller-Modell.


Mein Problem ist allerdings noch zu zeigen, dass $(V_1/ \sqrt{S},V_2/ \sqrt{S})$ tatsächlich einer Gleichverteilung folgen.


Mi 07-04-2010 10:45:27
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Beitrag Re: SS10: UE02
Morgen!

Ich verstehe es so: es geht nicht darum zu zeigen, dass $(V_1/ \sqrt{S},V_2/ \sqrt{S})$ gleichverteilt ist, sondern dass der Winkel, der von dem Punkt aufgespannt wird, auf (0,2 Pi) gleichverteilt ist, sowie dass der Abstand des Punktes zum Nullpunkt gleichverteilt auf (0,1) ist. Dann hat man genau die Inputs, die man für Box-Muller braucht, nämlich genau zwei gleichverteilte Zufallsvariable (wobei die eine auf (0,2Pi) erweitert wird, also eben unser Winkel).

Ich hab es so gezeigt: im zweidimensionalen Raum kann man die Wahrscheinlichkeit der Gleichverteilung mit dem Lebegueschen Flächenmaß gleichsetzen.
Die Verteilungsfkt. des Winkels ist das Flächenmaß der vom Winkel aufgespannten Kreissektor. (also der Winkel dividiert durch die gesamte Fläche des Kreises = 2 Pi) Man bekommt x/2Pi, also die Vert. fkt. der Gleichv.
Beim Abstand dasselbe, nur hier ist die Verteilungsfkt. die Fläche des Kreises um den Nullpunkt, den der Abstand aufspannt, und auch hier bekommt man die Vert. fkt der Gleichverteilung, diesmal allerdings auf (0,1).

Probleme macht mir noch die Unabhängigkeit, wobei eigentlich klar ist, dass die Länge einer Gerade zwischen zwei Punkten von dem von dieser Gerade aufgespannten Winkel unabhängig ist.

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Mi 07-04-2010 11:06:34
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Beitrag Re: SS10: UE02
Danke, hat sich schon erledigt. Wie immer ist mir das Licht aufgegangen, nachdem ichs gepostet hatte :D


Mi 07-04-2010 15:09:32
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Beitrag Re: SS10: UE02
@c.sagmeister
Beim 1. Teil stimme ich dir zu.
Beim 2. Teil komme ich auf die selben VF. Aber: die Fläche des Kreises ist doch Pi und nicht 2*Pi.

Mein Ansatz zur Unabhängigkeit: (x,y) gleichverteilt auf Einheitskreisscheibe (in kartes. Koord.). Betrachte Transformation (x,y)->(r^2=x^2+y^2,phi=arctan(y/x))
Die Funktiontionaldeterminante dieser Transformation ist 2.
Mit dem Transformationssatz folgt die Unabh. von r^2 und phi.
Bzw. man könnte auch die Transformation in umgekehrter Richtung betrachten.


Mi 07-04-2010 16:54:24
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Beitrag Re: SS10: UE02
@heijo:
Habe die 2Pi eigentlich auf den Winkel bezogen; wobei: selbst wenn ich annehme, dass der Einheitskreis die Fläche 2Pi hat, selbst wenn ich behaupte die Fläche betrage eine Kiste Zwettler Dunkles, es ist egal, denn

$F(x)= \frac{(Kiste Zwettler Dunkles) \cdot x}{Kiste Zwettler Dunkles}=x$

es kürzt sich weg, übrig bleibt die Verteilungsfunktion einer Gleichverteilung auf [0,1]. (schade, dabei hätte ich jetzt so gerne ein kühles Bier).


Danke für deinen Ansatz zur Unabhängigkeit, hatte nur gehofft ohne Maßtheorie auszukommen ;)

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Mi 07-04-2010 19:11:16
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Beitrag Re: SS10: UE02
@Christian: Jetzt hab ich Durst... 8)

Ich werd auch den eher inituitiven Ansatz für die Unabhängigkeit nehmen, is ja nur AngSt^^


Mi 07-04-2010 19:26:37
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Beitrag Re: SS10: UE02
Ich poste mal meine R-Codes:

Das mit der "zyklischen Auswahl" bei C2 ist so zu verstehen, dass ich jeweils die nächsten Zufallszahlen zur Berechnung der neuen heranziehe (i, i+1, ..., i+n) bzw. wenn das Ende erreicht ist (i+n > 60), wieder von vorne beginne (i, ..., 60, 1, ... i+n mod 60 + 1).

C1
Code:
polarmethode <- function() {
#Erzeugt zwei standardnormalverteile Zufallszahlen
  repeat {
    u <- runif(2)            #zwei gleichverteile ZFZ
    v <- 2*u-1
    s <- v[1]^2+v[2]^2
    if (s <= 1) break            #prüfe Abbruchbedingung
  }
  x <- sqrt(-2*log(s)/s)*v            #Transfomation
  return(x)            #Rückgabe
}

myrnorm <- function(my,sigma2) {
#Erzeugt zwei ZFZ einer N(my,sigma2)-Verteilung mittels Polarmethode
  return(sqrt(sigma2)*polarmethode()+my)
}

zufallszahlen <- array(0,dim=c(30,2))
for (i in 1:30)
  zufallszahlen[i,] <- myrnorm(4,1.5)

write(zufallszahlen, "C1output.txt", sep = "\n\r")



C2
Code:
#Daten von Bsp C1 importieren
  C1 <- read.table("C1output.txt",
     header=FALSE, sep="", na.strings="NA", dec=".", strip.white=TRUE)
  C1 <- as.array(C1$V1)

#Transformiere in N(0,1)
  NV <- (C1-4)/sqrt(1.5)
  N  <- length(C1)

#(a) Erzeuge Chi(5)-verteilte ZFZ
#    Chi(5) = Summe von 5 quadrierten N(0,1)-ZFZ
 
  CHI <- c()
  for (i in 1:N) {
    index  <- (i-1):(i+3)%%N + 1               #5 Elemente zyklisch ausgewählt
    CHI[i] <- sum(NV[index]^2)
  }

#Vergleiche empirische mit theo. Verteilung
  .x <- seq(0.158, 22.105, length.out=100)
  plot(.x, pchisq(.x, df=5), type="l")
  remove(.x)
  plot(ecdf(CHI),add=TRUE)


#(b) Erzeuge t(10)-verteilte ZFZ
#    t(10) = Quotient von N(0,1) und sqrt(Chi(10)/10)

  T <- c()
  for (i in 1:N) {
    index  <- (i-1):(i+8)%%N + 1               #10 Elemente zyklisch ausgewählt
    T[i] <- NV[i]/sqrt(sum(NV[index]^2)/10)
  }

#Vergleiche empirische mit theo. Verteilung
  .x <- seq(-4.587, 4.587, length.out=100)
  plot(.x, pt(.x, df=10), type="l")
  remove(.x)
  plot(ecdf(T),add=TRUE)


Mi 07-04-2010 23:22:42
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Beitrag Re: SS10: UE02
Hier meine Lösungen zu den restlichen Bsp., falls jmd vergleichen möchte (o.ä. :wink: ):
http://web.student.tuwien.ac.at/~e0825010/angst/


Do 08-04-2010 22:34:32
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