heute ist der Geburtstag von
Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


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UE02 
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Beitrag UE02
Hat sich jemand schon zufällig etwas zu 5. überlegt? An und für sich sind alle Punkte nicht schwer zu zeigen, das einzige Problem habe ich bei der Linearität in der ersten Komponente des inneren Produktes. Durch die Bildung der Suprema bekomme ich nämlich nur eine Abschätzung hin, und nicht die gewünschte Gleichheit. Kann für überabzählbare Indexmengen J überhaupt allgemein die Gleichheit gelten?

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Do 17-03-2011 22:58:43
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Ich hab ganz übersehn, dass da ein "=" stehn sollte. Gute Frage.


Do 17-03-2011 23:35:29
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womöglich eine Lösung:

Das $\le$ haben wir also schon. Fehlt noch die Gegenrichtung. Wir haben also die Suprema von zwei verschiedenen Summen abzuschätzen. Für beide Summen finden wir zwei endliche Mengen $S_\varepsilon$ und $K_\varepsilon$ sodass

$\sum_J + \sum_J \le \sum_{S_\varepsilon} + \sum_{K_\varepsilon} + \varepsilon$. Da ich nun endliche Summen habe, gilt weiter:
$... = \sum_{S_\varepsilon \cup K_\varepsilon} + \varepsilon \le \sum_J + \varepsilon$
Da Epsilon beliebig blabla fertig :)

P.S.: die Existenz all dieser Suprema folgt aus Cauchy-Schwarz.

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Zuletzt geändert von c.sagmeister am Sa 19-03-2011 21:10:54, insgesamt 1-mal geändert.



Sa 19-03-2011 12:28:18
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Beitrag Re: UE02
kann mir jemand zur gleichheit der topologien bei beispiel 1 einen tipp geben? dass dieses neue d eine metrik ist, ist ja nicht wirklich schwer zu zeigen...aber bei den topologien komm ich nicht wirklich weiter :(


Sa 19-03-2011 13:16:38
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Beitrag 
@maria: Das is ein Spezialfall von nem Bsp das wir schon in Ana3 hatten. Findest du hier unter 3. Übung.

@christian: Schaut okay aus. ;)


Sa 19-03-2011 20:59:18
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Beitrag 
Jetzt frage ich mich noch, wie man alle kreisförmigen Teilmengen von C bestimmt. Irgendwie einsichtig, dass das alle möglichen "Eier" um den Ursprung in der Gaußschen Zahlenebene sind, aber das formelle ist mir nicht ganz klar :)

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Sa 19-03-2011 21:16:17
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Beitrag Re: UE02
cool danke! dann werd ich dort mal nachlesen :D

zu beispiel 2 habe ich folgendes:
die kreisförmigen mengen im komplexen sind ja die abgeschlossenen und offenen kugeln um 0 sowie auch ganz C, die leere menge und {0}.

im reellen wären das dann alle abgeschlossenen und offenen intervalle um 0 sowie ganz R, die leere menge und {0}.

aber eine sinnvolle definition für kreisförmige mengen in einem vektorraum über R ist mir nicht wirklich eingefallen....nur dass solche mengen 0 enthalten und konvex sind.


Sa 19-03-2011 21:19:25
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Beitrag 
@christian: Ich hab einfach gezeigt, dass sich jede kreisförmige Menge als Vereinigung abgeschlossener Kugeln schreiben lässt. Und dann sind das die einzigen Möglichkeiten.

@maria: Ich hab einfach die Definition von C übernommen. Nur ist das lambda hald jetzt reell.


Sa 19-03-2011 21:46:31
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Beitrag Re:
@christian: Ich habs mir anders überlegt, ich bin mit deiner Lösung doch ned einverstanden. Wenn ich das richtig verstanden hab, willst du hinaus auf sowas wie
$\sum_J (x_j,z_j)_j + \sum_J (y_j,z_j)_j \le \sum_{K_1} (x_j,z_j)_j + \sum_{K_2}  (y_j,z_j)_j + \epsilon \stackrel{!}{\le} \sum_{K_1 \cup K_2} [(x_j,z_j)_j + (y_j,z_j)_j]  + \epsilon = \sum_{K_1 \cup K_2} (x_j+y_j,z_j)_j  + \epsilon \le \sum_J (x_j+y_j,z_j)_j $.

Nur stimmt die Ungleichung ned, wo das $!$ steht, weil ja die $(.,.)_j$ auch negativ sein können. Ich hoff ich hab deine Argumentation einfach falsch verstanden. :wink:


Sa 19-03-2011 21:58:45
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Beitrag Re: UE02
Ist die Menge x: |Re x | < | Im x | nicht auch eine kreisförmige Menge? Ich möchte sie mal grafisch darstellen.
Ich sehe keinen wirklichen Zusammenhang mit abgeschlossenen Kugeln...

@the_who: wieso kanns nicht EINMAL einfach sein? ^^


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Sa 19-03-2011 23:42:06
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Beitrag 
Kreisförmig als Teilmenge von C? Das glaube ich nicht, denn i ist sicher in der Menge. |i| = 1. Aber i*i = -1 ist nicht in der Menge.

EDIT: Aber wenn du C mit R² und a+ib mit (a,b) identifizierst und die Menge |a| < |b| als Teilmenge von R² betrachtest (und R² als Vektorraum über R auffasst), dann hast du meiner Meinung nach recht. :wink:


Sa 19-03-2011 23:49:24
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Beitrag Re: UE02
ich denke dass beim ersten punkt die kreisförmigen mengen von C als vektorraum über C gesucht sind. über R wäre ja jede menge kreisförmig, die zu einem punkt (x,y) die verbindungsgerade zu (-x,-y) enthält also wäre das ja eine menge von geraden durch den ursprung....hat also nicht so eine schöne struktur wie wenn man C über C betrachtet.


So 20-03-2011 09:44:35
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Beitrag Re: Re:
sry .... hier stand ein blödsinn


So 20-03-2011 12:05:36
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Beitrag Re: UE02
Bezüglich der Gleichung bei Bsp. 5. Ich glaube, wenn man das innere Produkt (so wie ich) als $((x_j)_{j \in J},(y_j)_{j \in J}) := \sup_{K \subseteq J, |K| < \infty} \sum_{j \in K} (x_j,y_j)_j$ definiert, kann das gar nicht funktionieren.

Wähle $J=\mathbb{N}$, $x_n:=2^{-n}$, $y_n:=-2^{-n}$, $z_n := 1$, $X_n = \mathbb{R}$, $(x,y)_n := x y$, dann gilt:
$((x_j)_{j \in J},(z_j)_{j \in J})+((y_j)_{j \in J},(z_j)_{j \in J}) = \sum_{n \in \mathbb{N}} 2^{-n} + \sup_{n \in \mathbb{N}} (-2^{-n}) = 1 + 0 > 0 = \sum_{n \in \mathbb{N}} (0,1)_n = ((x_j)_{j \in J}+(y_j)_{j \in J},(z_j)_{j \in J})$


So 20-03-2011 18:03:08
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Beitrag 
Andere Idee, ganz einfach: Sich das über ne Integraldarstellung überlegen (also in Real- und Imginär- bzw. Positiv- und Negativteil trennen). Dann bekommt man die Linearität geschenkt.


So 20-03-2011 18:25:47
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