Gott ist ein Kind, und als er zu spielen begann, trieb er Mathematik. Sie ist die göttlichste Spielerei unter den Menschen.
V. Erath


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UE4 
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Beitrag UE4
Ich beglücke euch mal wieder mit Lösungen...

Das erste Beispiel hab ich nicht so schön gemacht (hab zuerst nicht daran gedacht, dass die X_i für fast alle i der Nullraum sein könnten...). Ansonsten sollt es halbwegs passen.


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Di 04-05-2010 12:12:13
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Beitrag Re: UE4
Einen großen, großen Dank!


Di 04-05-2010 17:19:26
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Beitrag Re: UE4
find ich super, danke vielmals


Mi 05-05-2010 00:29:32
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Beitrag Re: UE4
kann ich mich nur anschliessen, GROSSEN DANK


Mi 05-05-2010 12:51:13
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Beitrag Re: UE4
ja, danke. schön, wenn die lösungen (der beispiele) existieren und eindeutig sind :D


Mi 05-05-2010 19:21:19
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Beitrag Re: UE4
Freut mich, wenn ihr die Ausarbeitung hilfreich findet ;)

Zu Bsp. 5: Hier habe ich bei der Argumentation, warum die fn' nicht gegen 0 konvergieren, etwas ausgetippext und dann vergessen, mir etwas Besseres einfallen zu lassen. Ich werde das ergänzen, sobald ich Zeit finde.


Mi 05-05-2010 21:59:27
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Beitrag Re: UE4
Anna1 hat geschrieben:
Freut mich, wenn ihr die Ausarbeitung hilfreich findet ;)

Zu Bsp. 5: Hier habe ich bei der Argumentation, warum die fn' nicht gegen 0 konvergieren, etwas ausgetippext und dann vergessen, mir etwas Besseres einfallen zu lassen. Ich werde das ergänzen, sobald ich Zeit finde.

Bsp. 5: ich hab fn := x^n genommen, dann ist (wenn ich das jetzt im kopf richtig integriert hab)
||fn||² = 1/(2n+1) --> 0
||fn'||² = n²/(2n-1) --> oo

EDIT: mah das ist natürlich blödsinn, hab vergessen dass die fn am rand verschwinden sollen


Zuletzt geändert von Gregor am Do 06-05-2010 15:57:45, insgesamt 1-mal geändert.



Do 06-05-2010 00:29:36
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Beitrag Re: UE4
Könnte vielleicht jemand die Übungsangabe online stellen? das asc link irgendwie funktioniert nicht bei mir :(


Do 06-05-2010 12:52:33
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Beitrag Re: UE4
Gregor hat geschrieben:
Bsp. 5: ich hab fn := x^n genommen, dann ist (wenn ich das jetzt im kopf richtig integriert hab)
||fn||² = 1/(2n+1) --> 0
||fn'||² = n²/(2n-1) --> oo


Warte mal, war da nicht auch was mit "am Rand verschwinden"? Irgendwie müsstest du deine fn bei 1 noch hinreichend schnell abklingen lassen... Vielleicht funktioniert's mit $x^n-x^{2n}$ oder so? Wäre eine hübsche Alternative zu meiner "unkonkreten" Folge...


Do 06-05-2010 16:11:31
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Beitrag Re: UE4
Sollte wirklich funktionieren mit $f_n:=x^n-x^{2n}$. Denn mit der Dreiecksungleichung folgt aus dem, was du gezeigt hast, dass es eine Nullfolge ist. Andererseits ist $f_n(2^{-1/n})=1/4$ für alle n, womit $ \int_0^{2^{-1/n}} f_n'=1/4$, woraus man mit der Jensen'schen Ungleichung $ \int_0^{2^{-1/n}} f_n'^2 \ge 1/16$ erhält. Modulo Rechenfehler...


Do 06-05-2010 16:20:41
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Beitrag Re: UE4
Oh, Mist. Ich lese gerade, dass die Funktionen in X nicht nur am Rand (sprich: 0,1) verschwinden sollen, sondern auf dem ganzen Komplement von [0,1]. Dann muss man doch was Komplizierteres nehmen (also dieses $\exp(-1/x^2)$-Zeug von hier zB: http://de.wikipedia.org/wiki/Glatte_Funktion.


Do 06-05-2010 16:29:02
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Beitrag Re: UE4
@anna: haha, deine letzten drei postings entsprechen ziemlich genau meinem gedankengang.. aber die argumentation aus deinen eingescannten lösungen ist eh einwandfrei, also was solls :wink:

falls man konkrete funktionen hinschreiben will, ich glaub es geht ganz gut mit
$$f_n(x) := \exp\left(\frac{1}{1-\frac{1}{(2nx-1)^2}}\right)\chi_{[0,\frac{1}{n}]}$$


Do 06-05-2010 19:26:15
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Beitrag Re: UE4
Jasmin90 hat geschrieben:
Könnte vielleicht jemand die Übungsangabe online stellen? das asc link irgendwie funktioniert nicht bei mir :(

Bei mir funktioniert er jetzt auch nicht mehr... Hab die Angabe aber zum Glück noch gespeichert.

Gregor hat geschrieben:
falls man konkrete funktionen hinschreiben will, ich glaub es geht ganz gut mit
$$f_n(x) := \exp\left(\frac{1}{1-\frac{1}{(2nx-1)^2}}\right)\chi_{[0,\frac{1}{n}]}$$

Ok, ich glaub dir jetzt einfach mal, dass die Funktion $C^{\infty}$ ist... :wink:


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Do 06-05-2010 19:58:27
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Beitrag Re: UE4
Anna1 hat geschrieben:
Ok, ich glaub dir jetzt einfach mal, dass die Funktion $C^{\infty}$ ist... :wink:

hab immerhin schon bewiesen, dass sie $C^1$ ist :lol:
der rest ist "plausible induktion"


Do 06-05-2010 20:30:52
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Beitrag Re: UE4
sehr dumme frage .. aber wie funktioniert die UGL im 2er ?
cauchy-schwarz-ugl ist damit eh nicht gemeint oder ? (wir haben: $\int (xy)^2 \le \sqrt{\int x^2 }\sqrt{\int y^2 }$ und C-S-UGL wäre $\int (xy) \le \sqrt{\int x^2 }\sqrt{\int y^2 }$ )
..damit die dann gilt müsste der Integrand ja größer 1 sein (so ca ^^ ) ...

Danke,
LG Ingmar


Do 06-05-2010 20:31:48
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