@ christopher:
ad 1) es könnte bei dir ja der fall eintreten, dass DnB=B und DnA=leer. in dem fall ist also weder DnB noch DnA ein gegenbsp dafür, dass B bzw. A zusammenhängend ist. für AnB ungleich leer kann dieser fall jedoch nicht eintreten!
ad 9) Sei x in O, O offen. wende lemma von urysohn auf die abg. mengen {x} und O^c an
=> es existiert ein stetiges f mit f(x)=0 und f(O^c)={1}.
setze U=(-1,1) oder irgendeine andere offene menge die 0 aber nicht 1 enthält.
=>
also bilden diese mengen eine basis
ad 4) hab mir das nicht genau überlegt, aber ich schätze, der hinweis ist so gemeint:
nimm irgendeinen diskreten raum, zB einfach die menge M={1,2,3,4}.
zeige: eine stetige fkt von einer zusammenhängenden menge nach M muss konstant sein.
nimm an es gibt einen homöomorphismus f : [a,b] -> X. wähle eine stetige funktion g von X\{0} nach M, die 4 versch. werte annimmt, und erzeuge damit, dass f bijektiv ist und
auf [a,b]\{y} nur 2 werte annehmen darf, einen widerspruch.
frage an dich: wie hast du bei bsp 3 gezeigt, dass S1\{x} zusammenhängend ist?
EDIT: ich schätze ein kurzer UND genauer beweis von bsp. 3 existiert nicht.. für einen langen kann man das hier verwenden:
http://www.informatik.uni-bremen.de/~mi ... enhang.pdfda wird gezeigt, das abg. intervalle in R zh sind. man kann intervalle stetig auf teile von S1\{x} abbilden, womit auch diese zh sind. also sind je 2 punkte von S1\{x} gemeinsam in einer zh menge, und mit hilfe von bsp 2 erhält man, dass S1\{x} zh ist.