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Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


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WS 2011 4. Übung 1. Beispiel 
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Beitrag WS 2011 4. Übung 1. Beispiel
Angabe: http://asc.tuwien.ac.at/~blue/ unter Ana 3

Beim 1. Beispiel stehe ich vor einem kleinen Problem. Ich hab zwar einen Beweis geschafft, allerdings sehe ich nicht wo ich in diesem Beweis die Eigenschaft $A\cap B\not=\varnothing $ verwende. Ich kann allerdings beweisen, dass es für A,B die zusammenhängend mit $A\cap B= \varnothing $ nicht gelten muss.

Beweis:
Annahme: $A\cup B$ist nicht zusammenhängend. Daher $\exists D\subsetneqq A\cup B$ abgeschlossen und offen. Da A und B zusammenhängend muss gelten : $\exists x,y\in D: x\in A \land  y\in B$ und $C:=(D\cap B\subsetneqq B \lor D\cap A\subsetneqq A)$. C ist abgeschlossen und offen (da endlicher Schnitt) und auch in der Spurtopologie auf A bzw B abgeschlossen und offen. Dh A oder B nicht zusammenhängend.

PS: Hat jemand zu 4 bzw 9 schon einen Ansatz? Den Rest der Bsp hab ich also könnte ruhig "tauschen" ;)


Do 10-11-2011 22:52:25
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Beitrag Re: 4. Übung 1. Beispiel
@ christopher:
ad 1) es könnte bei dir ja der fall eintreten, dass DnB=B und DnA=leer. in dem fall ist also weder DnB noch DnA ein gegenbsp dafür, dass B bzw. A zusammenhängend ist. für AnB ungleich leer kann dieser fall jedoch nicht eintreten!

ad 9) Sei x in O, O offen. wende lemma von urysohn auf die abg. mengen {x} und O^c an
=> es existiert ein stetiges f mit f(x)=0 und f(O^c)={1}.
setze U=(-1,1) oder irgendeine andere offene menge die 0 aber nicht 1 enthält.
=> $x \in f^{-1}(U) \subseteq O$
also bilden diese mengen eine basis

ad 4) hab mir das nicht genau überlegt, aber ich schätze, der hinweis ist so gemeint:
nimm irgendeinen diskreten raum, zB einfach die menge M={1,2,3,4}.
zeige: eine stetige fkt von einer zusammenhängenden menge nach M muss konstant sein.
nimm an es gibt einen homöomorphismus f : [a,b] -> X. wähle eine stetige funktion g von X\{0} nach M, die 4 versch. werte annimmt, und erzeuge damit, dass f bijektiv ist und $g\circ f$ auf [a,b]\{y} nur 2 werte annehmen darf, einen widerspruch.

frage an dich: wie hast du bei bsp 3 gezeigt, dass S1\{x} zusammenhängend ist?

EDIT: ich schätze ein kurzer UND genauer beweis von bsp. 3 existiert nicht.. für einen langen kann man das hier verwenden:
http://www.informatik.uni-bremen.de/~mi ... enhang.pdf
da wird gezeigt, das abg. intervalle in R zh sind. man kann intervalle stetig auf teile von S1\{x} abbilden, womit auch diese zh sind. also sind je 2 punkte von S1\{x} gemeinsam in einer zh menge, und mit hilfe von bsp 2 erhält man, dass S1\{x} zh ist.


Sa 12-11-2011 17:06:57
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Beitrag Re: 4. Übung 1. Beispiel
ad 3)
Ich hab gezeigt dass das Intervall (0,1) zusammenhängend ist dann das stetig auf S1\{0,1} abgebildet (sin und cos fkt) dh S1\{0,1} ist zusammenhängend. Und dann eine stetige Bijektion auf S1\{x}erzeugt (Drehung).

ad 1) Ja stimmt danke. Hab da iwie etwas zu kompliziert gedacht ;)

ad 9) Ja hab ich mir zuerst auch so gedacht hab mir dann nur iwie eingebildet dass es um die Urbilder einer bel Funktion f geht und da hatte ich dann keinen Ansatz mehr -.-

ad 4) Danke werde ich heute oder morgen noch probieren ;)


So 13-11-2011 14:07:37
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Beitrag Re: 4. Übung 1. Beispiel
Ich hätte noch ein Frage zu Bsp 5:
Wie kann N zusammenhängend sein, wenn für jede Teilmenge A von N die in der Topologie ist, auch N/A in der Top ist? Damit wäre A ja offen und abgeschlossen und N eben nicht zusammenhängend


So 20-11-2011 10:02:09
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Beitrag Re: 4. Übung 1. Beispiel
athanex hat geschrieben:
Ich hätte noch ein Frage zu Bsp 5:
Wie kann N zusammenhängend sein, wenn für jede Teilmenge A von N die in der Topologie ist, auch N/A in der Top ist?
das ist doch gar nicht der fall. die topologie enthält nur mengen, deren komplement endlich ist, und die leere menge. also sind N und die leere menge die einzigen mengen deren komplement auch drin ist!


Mo 21-11-2011 00:58:29
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Beitrag Re: 4. Übung 1. Beispiel
oh, angabe falsch gelesen :D
danke!


Mo 21-11-2011 15:14:37
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