heute ist der Geburtstag von
Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


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bsp 48, 49 
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Beitrag bsp 48, 49
hat jemand bei 48 eine Verteilung mit wachsender und fallender ausfallrate gefunden?

hat schon wer die Ergebnisse von 49?

lg


Mi 13-05-2009 10:08:24
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Beitrag Re: bsp 48, 49
Die Normalverteilung müsste eine steigende Ausfallsrate haben (das kann man eigtl eh nur vom Graphen von f(x) und 1-F(x) ablesen). Für ein fallendes Bsp bin ich noch auf der Suche...

EDIT: Die logarithmische NV müsste funktionieren... (zumindest laut Maple^^)


Mi 13-05-2009 15:46:38
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Beitrag Re: bsp 48, 49
Wenn eine stochastische Größe X auf einem Intervall [a,b] (0<=a<b) stetig gleichverteilt ist, sollte sie in diesem Intervall eine steigende Hazardrate haben ... Rechnung ergibt $\frac{1}{b-x}$, diese Funktion ist monoton steigend


Mi 13-05-2009 16:21:25
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Beitrag Re: bsp 48, 49
Hier mal meine bisherigen Ergebnisse zu 49:

$P[2<X<10]$ hab ich aufgeteilt in $P[2<X<\pi]+P[\pi \le X < 10]$, was aber nicht wirklich sinnvoll ist, weil die Sprungstelle beim Integrieren ohnehin nicht ins Gewicht fällt, also am Ende: $F(10)-F(2)=0.79947...$

$P[X>\pi]=1-P[X \le \pi] = 1- F(\pi) = \frac{1}{2}$

Für E(X) hab ich in die Formel $E(X) = \int_0^\infty (1-F(x)) \, dx$ eingesetzt. Nach teilen des Intervalls und Integrieren bin ich zum Ergebnis $\pi - \frac{\pi^2}{20} + \frac{1}{2}$ gekommen.

Bei Var(X) steh ich grad ein bissl an, weil ich leider nirgends ne Formel seh, wo ich mir das direkt über die Verteilungsfunktion ausrechnen kann. Kommt man da ums differenzieren wirklich nicht herum? 8)


Mi 13-05-2009 16:39:57
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Beitrag Re: bsp 48, 49
hab jetzt für $Var(X) = \frac{\pi^3}{30} + \frac{\pi^2}{2} + \pi +1$.

Aber wenn ich mir $E(X)$ über $\int_{-\infty}^\infty x f(x) \, dx$ ausrechne, komm ich auf $\frac{\pi^2}{20} + \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}$. Jemand ne Ahnung warum? Sollte doch eigentlich dasselbe rauskommen...


Mi 13-05-2009 17:18:00
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Beitrag Re: bsp 48, 49
Bezüglich der fallenden Ausfallrate:
  • F(x) ist monoton steigend
  • 1 - F(x) ist monoton fallend
  • log(1 - F(x)) ist monoton fallend (Der Logarithmus selbst ist monoton steigend)
  • -log(1 - F(x)) ist monoton steigend
Da in der Aufzählung kein "streng monoton ..." vorkommt, kann er eine konstante
Ausfallsrate geben, aber keine fallende. (Oder habe ich irgendwo einen riesigen
Denkfehler?)

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石室诗士施氏嗜狮,誓食十狮。氏时时适(简笔的適字)市视狮。十时,适十狮市。是时,适施氏适市。氏视十狮,恃失势,使是十狮逝世。氏拾是十狮尸,适石室。石室湿,氏使侍拭石室。石室拭,氏始试食十狮尸。食时,始识是十狮尸实十石狮尸。


Mi 13-05-2009 18:24:03
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Beitrag Re: bsp 48, 49
r(x) ist doch die Ableitung von -log(1 - F(x)), wenn die Steigung von -log(1 - F(x)) nachlässt, sinkt der Wert der Ableitung (=> Ausfallsrate ist fallend)


Mi 13-05-2009 18:37:26
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Beitrag Re: bsp 48, 49
so wie leonsoftware argumentiert hat gilt: H(x) ist monton wachsend
daraus folgt: r(x) muss überall größergleich Null sein, weil es ja die Ableitung von H(x) ist

wir suchen aber Verteilungen mit fallendem r(x)! dh uns interessiert eig die 2. Ableitung
konstant: Exponentialverteilung
wachsend: Gleichverteilung (leichtestes Beispiel)
fallend: ??


Mi 13-05-2009 18:47:17
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Beitrag Re: bsp 48, 49
Ja, stimmt natürlich - ich habe die Ausfallsrate mit der Ausfallsfunktion verwechselt. :oops:

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Mi 13-05-2009 18:49:24
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Beitrag Re: bsp 48, 49
@ the_who:
$E(X) = \int_0^\infty (1-F(x)) \, dx$ darfst du nicht verwenden, da es ja keine stetige Verteilungsfunktion ist.

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Mi 13-05-2009 22:37:06
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Beitrag Re: bsp 48, 49
Also über $\int x f(x) \, dx$? Aber $F(x)'$ erfüllt ja nicht die Kriterien einer Dichtefunktion (also das mit Integral = 1)... :roll:


Mi 13-05-2009 23:02:55
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Beitrag Re: bsp 48, 49
Genau da stecke ich auch fest.
Auf der einen Seite darf ich (1-F(x)) nicht verwenden, da nicht stetig und auf der anderen ist das Integral nicht 1.

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Mi 13-05-2009 23:19:01
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