heute ist der Geburtstag von
Pierre-Simon Laplace (28.03.1749 - 05.03.1827)


Auf das Thema antworten  [ 7 Beiträge ] 
Minimieren Sie das Integral 
Autor Nachricht

Registriert: 06/2011
Beiträge: 24 + 7
Mit Zitat antworten
Beitrag Minimieren Sie das Integral
Hallo kann mir jemand helfen, wie solche Beispiele zu lösen sind?
Bestimmen Sie a und b Integral {o...1} (ax+b-exp(-x)^2 dx

Meine Idee wäre dass man zuerst das Integral mit a, b berechnet und dann 1. Ableitung Null setzt, Extrema für a und b bestimmt..

Danke für Eure Hilfe!

LG,

Eva


Do 30-05-2013 17:24:26
Diesen Beitrag melden
Profil
Fachschaft TM

Registriert: 11/2007
Beiträge: 28 + 162
Studium: Master Technische Mathematik
Mit Zitat antworten
Beitrag 
Je kleiner man a und/oder b macht, desto kleiner wird das Integral. Folglich ist das Beispiel unlösbar, weil gar kein Minimum existiert.


Fr 31-05-2013 01:22:06
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 06/2011
Beiträge: 24 + 7
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: Minimieren Sie das Integral
tatsächlich...aber wie löst man allgemein solche beispiele?


Du hast keine ausreichende Berechtigung, um die Dateianhänge dieses Beitrags anzusehen.


Fr 31-05-2013 15:08:37
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2010
Beiträge: 23 + 6
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: Minimieren Sie das Integral
Du hast das Quadrat so gesetzt, dass das Beispiel unlösbar ist. Auf dem Angabeblatt gibt es aber eine andere Angabe!

Ich weiß nicht, wie viel Wissen man bei dieser Prüfung anwenden darf, aber unter bestimmten Voraussetzungen kann man ja Integral und Ableitung (hier aber bitte nach a und b ableiten!) vertauschen (siehe Leibniz'sche Regel). Hier sind die Vorausssetzungen auf jeden Fall erfüllt. Dadurch wird das Integral leichter und du kommst auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (a und b). Habs nicht durchgerechnet, aber sollte nicht so schlimm sein.


So 02-06-2013 01:02:28
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 06/2011
Beiträge: 24 + 7
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: Minimieren Sie das Integral
Laut Hinweis vom Prof. Mlitz geht die Lösung so

Polynome orthogonalisieren (Gram Schmidt, inneres Produkt ist
int_0^1 f(x) g(x) dx = < f, g >)
nachher Fourierreihenentwicklung ansetzen:

f = <p_0,f>p_0+<p_1,f>p_1+<p_2,f>p_2

Die <...> sind dann Zahlen, und durch "Zusammenfassen" bekommen Sie ein
quadratisches Polynom, bei dem a,b,c als Koeffizienten aufscheinen.

Kennt sich jemand aus?


Mo 03-06-2013 23:40:21
Diesen Beitrag melden
Profil
Fachschaft TM

Registriert: 11/2007
Beiträge: 28 + 162
Studium: Master Technische Mathematik
Mit Zitat antworten
Beitrag 
Der Hinweis von Prof. Mlitz erklärt einiges. Insbesondere, dass es immer um Beispiele mit Produkten/Quadraten geht. Sprich: Die Angabe, bei der kein Quadrat vorkommt, ist mit ziemlicher Sicherheit falsch abgeschrieben worden!

Betrachte z.B.
$\int_0^1 \left(ax+b-\frac{1}{x^2+1}\right)^2 dx=\int_0^1 f(x)g(x) dx$ mit $f(x)=g(x)=ax+b-\frac{1}{x^2+1}$

Das Polynom $f$ kann man sich als Vektor im Vektorraum über dem Körper der rationalen Funktionen vorstellen. $f$ hat also die Koeffizienten $(a,b,-1)$ bezüglich der Basis $B=\left(x,1,\frac{1}{x^2+1}\right)$. Die (nicht orthogonale) Basis $B$ kann man jetzt durch Gram-Schmidt in eine orthogonale - oder, noch besser: in eine orthonormale - Basis $\tilde B=(p_0,p_1,p_2)$ überführen.

Jetzt muss ich mir nur noch die Koeffizienten bezüglich dieser Basis ausrechnen. Also setzt man an:
$ax+b-\frac{1}{x^2+1}=\langle p_0,f\rangle p_0+\langle p_1,f\rangle p_1+\langle p_2,f\rangle p_2$

Der wesentliche Vorteil ist, dass man das Integral
$\int_0^1 \left(ax+b-\frac{1}{x^2+1}\right)^2 dx$
aufgrund der Orthonormalität in der Form
$\int_0^1 \left(\langle p_0,f\rangle p_0+\langle p_1,f\rangle p_1+\langle p_2,f\rangle p_2\right)^2 dx$
wesentlich besser integrieren kann (beim Ausquadrieren fallen viele Faktoren weg)!

Ich bin mir ziemlich sicher, dass das im Vorlesungsskript von Prof. Mlitz ausführlich behandelt wird.

Übrigens: Soweit ich weiß, lässt Prof. Mlitz nur Leute zu seiner Ana3-Prüfung antreten, die zumindest theoretisch die Vorlesung auch bei ihm gehört haben können. Sprich: Er schaut sich die Matrikelnummern an und lässt "zu junge" Leute einfach nicht zur Prüfung zu.


Di 04-06-2013 00:06:52
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 06/2011
Beiträge: 24 + 7
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: Minimieren Sie das Integral
Danke! Jetzt ist alles klar :)

Er bietet keine Ana 3 Prüfungstermine an, aber ist auch beim Ana 2 Prüfungsstoff dabei.


Di 04-06-2013 08:03:59
Diesen Beitrag melden
Profil
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:  Sortiere nach  
Auf das Thema antworten   [ 7 Beiträge ] 


Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 2 Gäste


Du darfst neue Themen in diesem Forum erstellen.
Du darfst Antworten zu Themen in diesem Forum erstellen.
Du darfst deine Beiträge in diesem Forum nicht ändern.
Du darfst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du darfst keine Dateianhänge in diesem Forum erstellen.

Suche nach:
Gehe zu:  
cron
Powered by phpBB © phpBB Group.  |  Designed by STSoftware for PTF  |  © Czechnology 2007 - 2024  |  Deutsche Übersetzung durch phpBB.de