Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.
Albert Einstein


Auf das Thema antworten  [ 9 Beiträge ] 
ANA 2 Schöberl schriftlich 27.06.2011 
Autor Nachricht

Registriert: 10/2009
Beiträge: 24 + 9
Mit Zitat antworten
Beitrag ANA 2 Schöberl schriftlich 27.06.2011
Zu beweisen war:
1) Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung
2) Greenscher Integralsatz
3) Dini (9.9)

Rechenbeispiele:
4) Taylorpolynom 0., 1. und 2. Ordnung von $f(x)= \frac{xy}{x+y}$ im Punkt $(1/1)$.
bzw. den Fehler für 1. Ordnung mit $(x,y) \in [0.9;1.1]^2$
5) Volumen von $K=\{(x,y,z): x^2+y^2\leq1, x+y+z\leq4, z\geq0\}$
6) $f_n: x \mapsto n*e^{-n*x}$ untersuchen auf pw, glm und kompakte Konvergenz auf $\mathbb{R}^+$


Mo 27-06-2011 17:24:53
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2011
Beiträge: 25 + 15
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: ANA 2 Schöberl schriftlich 27.06.2011
Wie berechnet man das Volumen. Mich verwirrt die Angabe mit Ungleichungen...


Fr 15-06-2012 15:17:26
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 11/2010
Beiträge: 24 + 10
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: ANA 2 Schöberl schriftlich 27.06.2011
Wir substituieren mit Zylinderkoordinaten:
$g(r,\phi,z) := (r\cos \phi, r \sin \phi, z)$.
Das führt auf $K = g(T)$ mit
$T := \{ (r,\phi,z) : 0 \le r \le 1, 0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}, 0 \le z \le 4 - r \cos \phi - r \sin \phi \}$

Es folgt mit der Substitutionsregel

$
| K | = \int_K 1d(x,y,z) = \int\limits_0^1 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \int\limits_0^{4-r\cos\phi - r\sin\phi} r dzd\phi dr
$

und danach ganz normal ausintegrieren. Laut Lösung (das Beispiel ist aus dem Engl Skript) sollte $\pi - \frac{2}{3}$ rauskommen.


Sa 16-06-2012 13:45:47
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2011
Beiträge: 25 + 15
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: ANA 2 Schöberl schriftlich 27.06.2011
Warum nimmt man nur ein Viertel des Einheitskreises?


Di 19-06-2012 11:53:34
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 09/2010
Beiträge: 25 + 31
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: ANA 2 Schöberl schriftlich 27.06.2011
falls das beispiel wirklich das aus dem engl skript ist, dann fehlt noch x>=0, y>=0 in der Angabe. daher nur bis pi/4.


Di 19-06-2012 14:51:17
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 11/2010
Beiträge: 24 + 10
Mit Zitat antworten
Beitrag 
Ja stimmt, im Beispiel aus dem Skript sind x, y und z alle >= 0. In dem Beispiel oben nimmt man dann natürlich den ganzen Kreis. ;)


Di 19-06-2012 18:59:43
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2011
Beiträge: 21 + 1
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: ANA 2 Schöberl schriftlich 27.06.2011
Danke! Zu Beispiel 6: gleichmäßig konvergiert es nur für x >= 1, richtig? Oder wie geht das?


Fr 22-06-2012 15:18:42
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 11/2010
Beiträge: 24 + 10
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: ANA 2 Schöberl schriftlich 27.06.2011
Also punktweise konvergiert sie gegen 0. Im Allgemeinen konvergiert diese Folge nicht gleichmäßig, auf kompakten Teilmengen von $\mathbb{R}^+$ jedoch schon.

Annahme: $(f_n)_n$ konvergiert gleichmäßig. Wähle $\varepsilon > 0$ beliebig, aber fix.
Dann $\exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \ge n_0 \forall x \in \mathbb{R}^+ : ne^{-nx} = \frac{n}{e^{nx}} \le \varepsilon$. (Betragsstriche brauchen wir nicht, $f_n$ ist offensichtlich immer $\ge 0$)
Wähle $x = \frac{1}{n} \Rightarrow \frac{n}{e} \le \varepsilon $ $\forall n \ge n_0$. Und das kann nicht stimmen, $\varepsilon$ war beliebig, also Widerspruch.

Für die kompakte Konvergenz betrachten wir eine beliebige kompakte Teilmenge, also ein abgeschlossenes Intervall $[a,b] \subset \mathbb{R}^+$. Die Grenzfunktion ist die Nullfunktion. Wir benutzen das Kriterium mit dem Supremum:
$\sup_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \sup_{x \in [a,b]} \frac{n}{e^{nx}}= \frac{n}{e^{na}} \to 0$ $\forall n$.


Sa 23-06-2012 19:46:37
Diesen Beitrag melden
Profil

Registriert: 10/2011
Beiträge: 21 + 1
Mit Zitat antworten
Beitrag Re: ANA 2 Schöberl schriftlich 27.06.2011
Dankeschön :D


Mo 25-06-2012 12:16:42
Diesen Beitrag melden
Profil
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:  Sortiere nach  
Auf das Thema antworten   [ 9 Beiträge ] 


Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 1 Gast


Du darfst neue Themen in diesem Forum erstellen.
Du darfst Antworten zu Themen in diesem Forum erstellen.
Du darfst deine Beiträge in diesem Forum nicht ändern.
Du darfst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du darfst keine Dateianhänge in diesem Forum erstellen.

Suche nach:
Gehe zu:  
cron
Powered by phpBB © phpBB Group.  |  Designed by STSoftware for PTF  |  © Czechnology 2007 - 2024  |  Deutsche Übersetzung durch phpBB.de