"<==" passt
"==>" nein, kannst du natürlich nicht..
du weißt, dass V und W semilinear isom. sind, mit anderen worten: dass es ein f : V -> W gibt welches bijektiv und semilinear ist. f muss aber keineswegs linear sein!
man kanns so machen:
sei (bi) eine basis von V, und sei y in W beliebig.
da f bijektiv ist, gibt es genau ein x in V mit f(x) = y.
x lässt sich eindeutig darstellen in der form
.
daraus folgt, dass man y schreiben kann als
und dass diese darstellung eindeutig ist! (d.h. die koeffizienten zeta(xi) sind durch y eindeutig bestimmt - denn zeta ist ja auch bijektiv).
wir sehen also, dass (f(bi)) eine basis von W bildet.
laut fortsetzungssatz gibt es eine LINEARE abbildung g mit
laut satz 3.2.5 ist g bijektiv.
also ist g ein linearer isomorphismus zwischen V und W.
lg gregor
[quote="cimo"]Beweise: V und W sind semilinear isomorph genau dann wenn sie linaer isomorph sind!
"<==" linear = IDk semilinear also Zeta = IDk. [b] ist sicher richtig oder?[/b]
"==>" nehme Zeta = IDk und kann daher sagen linear isomorph. [color=#FF0000] Darf ich das annehmen ?[/color][/quote]
"<==" passt
"==>" nein, kannst du natürlich nicht..
du weißt, dass V und W semilinear isom. sind, mit anderen worten: dass es ein f : V -> W gibt welches bijektiv und semilinear ist. f muss aber keineswegs linear sein!
man kanns so machen:
sei (bi) eine basis von V, und sei y in W beliebig.
da f bijektiv ist, gibt es genau ein x in V mit f(x) = y.
x lässt sich eindeutig darstellen in der form [tex]$x = \sum x_i b_i$[/tex].
daraus folgt, dass man y schreiben kann als
[tex]$y = f(\sum x_i b_i) = \sum \zeta(x_i) f(b_i)$[/tex]
und dass diese darstellung eindeutig ist! (d.h. die koeffizienten zeta(xi) sind durch y eindeutig bestimmt - denn zeta ist ja auch bijektiv).
wir sehen also, dass (f(bi)) eine basis von W bildet.
laut fortsetzungssatz gibt es eine LINEARE abbildung g mit
[tex]$g(b_i) = f(b_i) \ \forall i$[/tex]
laut satz 3.2.5 ist g bijektiv.
also ist g ein linearer isomorphismus zwischen V und W.
lg gregor